8.2. Задача Коши

Дано дифференциальное уравнение и начальные условия .

Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение первого порядка:

(2)

Задача Коши для уравнения (2) будет звучать так: найти решение уравнения (2) в виде функции y(x), удовлетворяющей начальному условию:

(3)

Существование и единственность решения уравнения (2) обеспечиваются теоремой:

Теорема Пикара. Если функция f определена и непрерывна в некоторой области G определяемой равенствами:

(4)

и удовлетворяет в этой области условию Липшица по y: , то на некотором отрезке , где h – положительное число, существует и притом только одно решение y=y(x) уравнения (2), удовлетворяющее условию (3).

Здесь М – постоянна (константа Липшица), зависящая в общем случае от a и b. Если f(x,y) имеет ограниченную в G производную, то при можно принять .

Геометрический поиск решения уравнения (2) в виде функции y(x), удовлетворяющей условию (3) означает, что требуется найти интегральную кривую y=y(x), проходящую через заданную точку при выполнении равенства (3).

Решение уравнений высших порядков можно свести к решению системы уравнений первого порядка. Например, уравнение второго порядка можно записать в виде системы двух уравнений первого порядка:

В зависимости от представления решения, методы условно подразделяются на три основные группы:

1 Аналитические методы, применения которых дает решение дифференциального уравнения в виде аналитического выражения.

2 Графические методы, дающие приближенное решение в виде графика.

3 Численные методы, когда искомая функция получается в виде таблицы.