2.4. Варіаційний принцип Остроградського-Гамільтона.
Варіаційний принцип Остроградського-Гамільтона є одним з найуніверсальніших принципів сучасного природознавства. Він може бути сформульований як в термінах координат, так і в термінах кінетичної та потенціальної енергії системи.
Це дає можливість поширити його на суцільні середовища, а також на фізичні поля. Принцип Остроградського-Гамільтона. Рух системи за проміжок 
здійснюється у такому напрямку, який забезпечує стаціонарне значення інтегралу
, (2.20)
де 
- кінетична енергія системи, 
- потенціальна енергія, функція 
називається функцією Лагранжа, а сам інтеграл (2.20)- інтегралом дії.
У початковий момент часу 
система знаходиться у деякому фіксованому стані.
Розглянемо кілька прикладів на застосування принципу Остроградського-Гамільтона.
Приклад 2.7. Дана система матеріальних точок 
з координатами 
. Координати точок є функціями від 
, які, принаймні, двічі неперервно диференційовані. Нехай силове поле має потенціальну енергію 
. Тоді, якщо 
- сила, яка діє на 
- ту точку, мають місце рівності: 
, 
, 
, 
.
. Записати диференціальні рівняння руху системи. Розв’язання. Побудуємо функцію Лагранжа і запишемо для цієї функції систему рівнянь Ейлера (2.5):
або у векторній формі 
, де 
- пришвидшення точки 
.
Приклад 2.8. Вивести диференціальне рівняння плоских поперечних вільних коливань струни, натягненої зі сталою силою 
між точками 
і 
осі 
.
Розв’язання. Нехай струна у стані спокою під впливом натягання розташована вздовж осі . Відхилення від положення рівноваги позначимо 
. Кінетична енергія струни обчислюється за формулою 
, де 
- лінійна густина струни.
Обчислимо потенціальну енергію струни. Ділянка струни 
має здовження 
(з точністю до нескінченно малих першого порядку малості), а потенціальна енергія пропорційна здовженню струни. Тому 
.
Інтеграл дії (2.20) має вигляд
.
Рівнянням коливань струни буде рівняння Ейлера-Остроградського (2.14) для наведеного функціонала. Маємо
.
Якщо струна однорідна (
), то останнє рівняння можна переписати у вигляді
, де 
.
Приклад 2.9. Вивести рівняння вільних коливань мембрани, натягненої зі сталою силою на одиницю площі.
Розв’язання. Потенціальна енергія дорівнює добутку сили на тяжіння на приріст площі. З точністю до нескінченно малих першого порядку малості маємо
,
де 
- відхилення точки 
в момент часу від початкового стану. Інтеграл дії має вигляд
,
а рівняння Ейлера-Остроградського (2.14) записується так:
.
Якщо мембрана однорідна (), останнє рівняння набуває вигляду
, де .