5.1. Локальное приближение модели шаровой расширяющейся Вселенной

При огромном значении текущего (современного нам) радиуса 4-шара сама кривизна 3-мерной Вселенной становится крайне малой. Вместо ряда концентрических сфер-изохрон для локального анализа становится достаточным и удобным рассматривать параллельные слои изохрон, отвечающие Вселенной в различные моменты времени. Мировые линии, направленные по радиусу 4-шара, т.е. вдоль вектора времени, являтся ортогональными к параллельным изохронам и физически отвечают "дрейфу во времени" неподвижных частиц. Напротив, мировые линии, пересекающие изохроны под непрямым углом, отвечают равномерно движущимся частицам.

Изохрона 3 ""¦¦

Изохрона 2

Изохрона 1 "" """" ¦¦¦¦¦¦¦¦¦ д^с Время

а - "дрейф" неподвижной частицы б - равномерное движение частицы

Рис. 5.1. Локальное представление расширения Вселенной

По мере расширения Вселенной (и исключительно за счет этого обстоятельства) расстояние между точками пересечения двух приведенных мировых линий вдоль текущей изохроны Вселенной изменяется равномерно и прямолинейно. Тем самым, как уже было отмечено, представление об инерциальном движении переводится из априорного (и часто приводящего к порочному кругу определений) во вторичное, которое непосредственно и естественно вытекает из порождающей его исходной модели.

Мы снова можем отметить существование естественного ограничения на возможный угол отклонения мировой линии от нормали к изохроне; очевидно, этот угол не может быть больше прямого, что, бесспорно, увязывается с наличием предельной скорости движения, равной упомянутой выше величине с. Отношение v/c скорости v движения частицы к скорости света оказывается мерой (синусом) угла отклонения вектора 4-мерного перемещения от нормали к изохроне. Особо важным является то, что эта мера неаддитивна: при сложении углов результирующая относительная скорость не равна сумме относительных скоростей. Наконец, понятно, что движение с предельной скоростью с (скоростью света) происходит вдоль изохроны - текущего сечения Вселенной, перпендикулярно к ее радиусу.

Мы можем приступить к установлению соответствия между СТО и ТШРВ. При этом необходимо проводить четкое различие между обычной системой координат ("время-перемещение") и используемой в ТШРВ системой "нормаль-изохрона" (речь идет о поверхности 4-сферы). Именно последняя - вновь введенная - система координат позволит нам избежать привлечения коцепции псевдоевклидовой метрики, лежащей в основе формализма Минковского.

Как мы видели выше, последовательность вложенных гиперповерхностей фактически определяет течение абсолютного времени в рамках СТО. На рис. 5.2 воспроизведена типичная для СТО система координат: по оси ординат отложено время t, по оси абсцисс - перемещение х. Прямой линией под углом 45° обозначен световой конус, выходящий из начальной точки движения О.

72 5. Инерциальное движение

2t2-x2= const

t

О х

Рис. 5.2. Типичная система координат СТО

Для всех точек этого конуса выполняется условие с t -х = 0. Это условие выполняется и в любой другой инерциальной системе, где значения t' и х', в общем случае, отличаются от значений t и х.

Внутренней прямой линией под углом а<45° к оси времени изображена мировая линия частицы (от события О до события Bi), скорость которой меньше скорости света. Для такой линии угол а отклонения вектора скорости от оси времени будет меньше 45°; этот угол определен соотношением

tga = x/(c-t) = v/c

Данный угол поворота относительно временной оси, собственно говоря, отвечает выбору в СТО системы отсчета. Все множество физически реализуемых систем отсчета соответствует совокупности допустимых углов поворота.

Перейдем теперь к построениям в ТТТГРВ Как изобразить в системе "нормаль-изохрона" то, что ранее было построено в системе "время-перемещение"?

Прежде всего условимся в соответствии с рис. 5.1 изображать изохроны линиями, параллельными оси абсцисс. Далее, по вертикальной оси будем откладывать величину интервала (в терминологии СТО), деленного на скорость света, или абсолютного времени (в терминологии ТТТГРВ) - таким образом расстояние между указанными поверхностями, деленное на скорость света, для неподвижного наблюдателя в СТО будет совпадать с промежутком абсолютного времени между соответствующими изохронами.

Когда неподвижный наблюдатель (по его часам) в СТО достигает точки Во, движущийся наблюдатель по собственным часам достигнет точки Bi (все прямые мировые линии,

7 7 7

выходящие из начальной точки и заканчивающиеся на кривой с t -x = const, согласно СТО, по определению обладают этим свойством). Если скорость движения наблюдателя Bi очень мала, то время движения Bi, показываемое часами неподвижного наблюдателя Во, будет практически равно абсолютному времени. Если же скорость движущегося наблюдателя велика, то время его движения до заданной изохроны согласно СТО по часам неподвижного наблюдателя будет (как видно из рис. 5.2) больше, чем собственное время по часам движущегося наблюдателя.

Спрашивается, как соотносятся между собой угол поворота а в системе "время-перемещение" (СТО) и угол ср отклонения вектора 4-мерного перемещения (с определенной скоростью, см. рис. 5.1) от кратчайшего 4-мерного пути (с нулевой скоростью) между сечениями Вселенной (в системе "нормаль-изохрона")? Легко видеть, что угол <р на рис. 5.1 не равен углу а на рисунке 5.2; действительно, когда первый стремится к 90°, второй стремится к 45°. С учетом определений углов мы можем заключить, что tga = simp.

С другой стороны, между этими углами заведомо установлено взаимно-однозначное соответствие, так что переходу от одного вектора 4-мерного перемещения к другому в системе "нормаль-изохрона" всегда отвечает совершенно определенное преобразование Лоренца (в

5. Инерциальное движение

73

системе "время-перемещение"). При этом в СТО инвариантом служит интервал, а в ТШРВ, как легко видеть из рис. 5.1 - промежуток абсолютного времени (расстояние) между изохронами.

Мы, таким образом, получили наглядную интепретацию преобразования Лоренца средствами чисто евклидовой (а не псевдоевклидовой) геометрии, причем во вновь введенной системе координат аргумент преобразования определяется не через гиперболический арктангенс (как в СТО), а через обычный арксинус скорости. При этом необходимость в использовании (и физической интерпретации) мнимых отрезков и углов отпадает.

ds = const/^ х. *г

*i

хч а) Равные интервалы

?¦ ^3 ^

б) Равные времена

x=congt

в) Равные расстояния

Рис. 5.3. Сопоставление представлений в СТО и в ТШРВ

Сопоставим некоторые характерные случаи, представленные, соответственно слева и справа на рис. 5.3 в СТО и в ТШРВ. На диаграмме (а) изображены события, отвечающие перемещениям из начала координат в точки линии, определенной условием постоянства интервала до них ct2 - х2 = ds2 = const. Слева на традиционных осях отмечены координаты точек {xi, ti}, ... , {х4, t4). Справа в системе осей "нормаль-изохрона" показаны те же самые перемещения между двумя параллельными изохронами: здесь величина промежутка абсолютного времени (интервала) между изохронами отложена по вертикали, времени движения по часам неподвижного наблюдателя соответствуют наклонные линии, перемещения отложены вдоль изохроны (в данном случае все частицы перемещаются между одной и той же парой изохрон!) . Обратим еще раз внимание, что чем больше скорость движения, тем меньше собственное время движения dS/c по сравнению со временем и , которое покажут часы неподвижного наблюдателя, в связи с чем Землянин стареет больше, чем Космонавт.

На диаграмме (б) изображена ситуация, когда группа частиц, в одно и то же время (но с различными скоростями) покинувших начальную точку, одновременно (с точки зрения неподвижного наблюдателя СТО) достигнет ряда различных изохронных поверхностей.

74

5. Инерциальное движение

Соответственно и в ТТТГРВ концы перемещений, лежащих на окружности постоянного радиуса, принадлежат разным изохронам, т.е. различным сечениям Вселенной. Как получить соответствующую диаграмму? Каждому значению скорости отвечает свое значение угла д>. Поэтому в данном случае справедливо условие х = V sin д> = const • sing), что и соответствует окружности (в функции угла д>). Заметим, что если два наблюдателя - неподвижный Землянин и движущийся Космонавт - отсчитают одинаковый промежуток времени по часам Землянина, и к этому моменту Космонавт вернется на Землю с определенной скоростью, то его собственные часы отсчитают меньший промежуток времени, т.к. он к этому моменту еще не достиг той изохроны, которую уже пересек Землянин.

Обычно Космонавт может вычислить показания часов Землянина, разделив показания своих часов на косинус угла отклонения своей мировой линии от вертикали. Однако в пределе, когда скорость его полета равна скорости света, часы Космонавта просто останавливаются, и нам приходится делить ноль на ноль, т.е. это правило не дает определенного результата. Между тем, часы Землянина идут и показывают время, в точности равное пути, пройденному светом и деленному на скорость света. Диаграмма (б) как раз и показывает (горизонтальный радиус), где, с точки зрения Землянина (и именно по его часам), находится Космонавт, перемещающийся со скоростью света.

На диаграмме (в) изображена ситуация, когда группа частиц, в одно и то же время покинувших начальную точку, достигает различных изохронных поверхностей в точках, удаленных (с точки зрения неподвижного наблюдателя СТО) на одно и то же расстояние от этой начальной точки. Соответственно и в ТТТГРВ концы перемещений, лежащих на одной и той же вертикали, принадлежат разным изохронам, т.е. различным сечениям Вселенной.