3.4. ЛОГИКА И ИНТУИЦИЯ

Как известно, мышление и поведение человека во многих ситуациях определяется соответствующими алгоритмическими процедурами. Они могут иметь различную степень "жесткости": в одних случаях человек выполняет заданную последовательность операций, действуя по определенному алгоритму, а в других — его поведение носит случайный, недетерминированный характер, сопровождающийся труднопредсказуемыми актами "свободного выбора".

себя как регулярные процедуры, так и алогичные скачки.

Различают два вида мышления: логическое и интуитивное. Логическое мышление требует анализа фактов, установления причинно-следственных связей, проведения рассуждений, соответствующих законам логики. Интуитивное мышление проявляется в способности непосредственного постижения истины без каких-либо обоснований, доказательств и предварительных логических рассуждений. Оно осуществляется в виде иррациональных скачков, переходов от старого знания к новому с пропуском нескольких этапов, при которых разрывается жесткий круг логических рассуждений. Интуиция на основе свернутых умозаключений как бы подсказывает готовый ответ, или способ решения задачи: выбор идеализации явления, построение математической модели, исследование частных и предельных случаев.

"Будем учиться доказывать, но будем также учиться догадываться."

Д. Пойа

Известно, что интуитивному скачку предшествует "подготовка", то есть осознанное изучение вопроса.

на уроке физики

Использование алгоритмического подхода предполагает выделение элементарных операций, требуемых для решения задачи, и установление их последовательности. Допустим, учитель решает задачу по термодинамике: Кусок льда массой m = 200 г имеет температуру to = —10°С. Что произойдет, если ему сообщить количество теплоты Q? Определить конечную температуру воды t. Удельные теплоемкости льда и воды с\ и С2, теплота плавления льда А, теплота парообразования воды L. Алгоритм решения состоит в следующем:

Найти количество теплоты, требуемое для нагревания льда от to до температуры плавления t' = 0°С: Q\ — mc\(t! — to).

Если Q < Qі, то лед не нагреется до температуры плавления t'. Его конечная температура t выражается из формулы:

Q = mci(t - t0), t = t0 + Q/(mci).

Задача решена. Если Q± < Q, перейти к операции 3.

Найти количество теплоты, требующееся для плавления льда при температуре плавления t' = 0°С: Q2 = Am.

Если Qі < Q < Q1+Q2, то лед нагреется до температуры плавления t' = 0°С и частично расплавится. Массу образовавшейся воды тп' можно найти из формулы: Q = mc\{t! — to) + Am'. Задача решена, конечная температура t = 0°С. Если Q > Qi + Q2, то перейти к операции 5.

Найти количество теплоты, необходимое для нагревания воды от температуры плавления t' = 0°С до температуры кипения t" = 100°С: Q3 = mc-iit" — t').

Если Qi + Q2 < Q < Qi + Q2 + Q3, то лед нагреется до температуры плавления, полностью расплавится, и образовавшаяся вода нагреется до температуры t.

Q = mc\(i! — to) + Am + mc^it — t').

Задача решена. Если Q > Qi + Q2 + Q3, то перейти к операции 7.

Найти количество теплоты, требующееся для превращения воды массой m при температуре кипения t" = 100°С в пар: Q4 = Lm.

Если Qi + Q2 + Q3 < Q < Qi + Q2 + Q3 + Q4, то часть воды превратится в пар. Конечная температура t" = 100°С. Массу т" образующегося пара найти из формулы:

Q = mci(?' - t0) + Am + mc2(t" - t') + m"L. Если Q > Qi + Q2 + Q3 + Q4, то вся вода превратится в пар. Задача решена.

Учитель может рассказать учащимся о роли логики и интуиции в процессе познания окружающего мира. Большое число задач решаются с помощью чисто логических рассуждений, вместе с тем существуют проблемы, анализ которых требует интуитивного скачка. Например, доказательство теоремы Пифагора начинается с дополнительного построения: из вершины прямого угла на гипотенузу опускают перпендикуляр. Это интуитивный шаг, — он не следует из условия задачи. Все последующие рассуждения о подобии трех тре-угольников, отношении соответствующих сторон, а также математические преобразования подчиняются законам логики. В математике существует довольно много задач, решение которых невозможно без интуиции и требует использования дополнительных построений, каких-то преобразований, необходимость которых логически не следует из условия задачи. Эти теоретически не обоснованные способы, уменьшающие количество переборов при поиске оптимального решения называются эвристиками.

"Интуиция — высшая форма деятельности интеллекта."

Шопенгауэр

Таким образом, доказательство практически любой теоремы, решение любой задачи требует интуитивного мышления. Доказываемое утверждение предшествует собственно доказательству и учащийся должен выбрать ход рассуждений, догадаться, какие дополнительные построения следует выполнить, какие теоремы использовать и т.д. Интуитивный стиль мышления проявляется в том, что ученик способен быстро усматривать правильный способ решения новой задачи, получать ответ, который он логически не обосновал.

Рассмотрим несколько задач, которые могут быть решены с помощью эвристических рассуждений.

Задача 1. В уме найдите сумму 0 +1 + 2 +... +19 + 20. Можно сложить 0 + 20, 1 + 19, 2 + 18, ..., 8 + 12, 9 + 11 и к результату прибавить 10. Получается 210.

Задача 2. Космонавт, находясь в космическом корабле, который равномерно движется вдали от небесных тел, пролил жидкость. Какую форму она примет? Учащийся может попытаться найти решение на интуитивном уровне, то есть из каких-то общих соображений неявно "угадать" или неосознанно "почув-ствовать", что жидкость примет шарообразную форму. После этого необходимо логически обосновать полученный ответ: так как в отсутствие гравитационного поля все направления равноправны, то из соображений симметрии следует, что жидкость будет иметь форму шара. Из энергетических соображений также вытекает, что жидкость примет такую форму, при которой потенциальная энергия, обусловленная силами поверхностного натяжения, будет минимальной. Это шарообразная форма, при которой жидкость заданного объема имеет минимальную площадь поверхности.

Задаче 3. Выведите формулу для расчета площади треугольника. Учащийся с помощью "геометрического зрения" должен "увидеть" прямоугольник ABNM (рис. 3.6.1). Необходимость этих дополнительных построений ни коим образом не следует из условия задачи. Дальше можно легко доказать, что площадь треугольника в два раза меньше площади прямоугольника, поэтому S = ah/2.

"ч

Рис. 3.6.

Задача 4. Выведите формулу для расчета объема шара. Мысленно разрежем полушарие на узкие слои толщиной dy (рис. 3.6.2). Элементарный объем каждого

слоя dV = 7XXіdy, где х2 = R2 - у2. Объем шара равен:

R

о

Задача 5. Компьютер случайным образом загадал целое число X в интервале от 1 до 128. Когда пользователь, пытаясь угадать X, вводит число У, компьютер сообщает, что X больше Y или X не больше Y. Как за минимальное число шагов отгадать X? Интуитивно понятно, что интервал от 1 до 128 необходимо разделить пополам и сначала ввести Y = 64. Допустим, компьютер ответит, что X не больше У, тогда интервал от 1 до 64 следует снова разбить пополам и ввести Y = 32 и т.д. Чтобы логически обосновать это решение, необходимо вспомнить, что уменьшение неопределенности (энтропии) наших знаний равно информации в сообщении, причем ответ с двумя вариантами несет наибольшее количество информации тогда, когда варианты равновероятны. Поэтому надо задавать вопросы так, чтобы варианты ответов имели одинаковые вероятности. Так как исходная неопределенность равна 7 бит (27 = 128), то достаточно получить 7 сообщений информативностью 1 бит.