4.8. ИНДУКЦИЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ

В переводе с латинского "индукция" означает "наведение", то есть наведение на догадку или гипотезу. Чисто индуктивные рассуждения в математике играют эвристическую роль: они позволяют выдвинуть предположение, догадаться о решении задачи.

на уроке математики

Например, учитель, чтобы как-то обосновать истинность формулы a(b + с) = ab + ас, предлагает каждому ученику подставить в нее конкретные числа а, с.

Или другой пример: при изучении сложения дробей учитель предлагает следующее: "Нарисуйте в тетради прямоугольник из 20 клеток (4 ряда по Ъ), что будет соответствовать целому, то есть 1. Одним цветом закрасьте 4 клетки, то есть 1/5 от целого прямоугольника. Другим цветом закрасьте 1 клетку, то есть 1/20. Всего будет закрашено 5 клеток, что соответствует 5/20 = 1/4, значит 1/5 + 1/20 = 1/4 (рис. 4.3). Этот же результат можно получить иначе: привести две дроби к одному знаменателю и сложить числители: 1/5 + 1/20 = 4 • 1/(4 • 5) + 1/20 = 4/20 + 1/20 = 5/20 = 1/4. Используя этот метод, вычислите разность 1/2 — 1/10. Из рис. 4.3 видно, что получается 4/10. В самом деле, 10/20 — 2/20 = 8/20 = 4/10. Сформулируйте правило сложения или вычитания дробей с разными знаменателями".

_2_ 20

±_ 1 = _5_ 20 20 20

Рис. 4.3.

+

10 20

m

Следует понимать, что подобные индуктивные рассуждения не могут считаться строгим доказательством, так как утверждение может быть истинным в целом ряде частных случаев и при этом оставаться ложным вообще.

Одним из дедуктивных методов доказательства утверждения А является метод математической (совершенной) индукции. Он состоит в следующем: 1) доказывают истинность данного утверждения А для одного или нескольких натуральных чисел (обычно, для к = 1); 2) доказывают, что если утверждение А истинно для любого натурального к, то оно является истинным для к + 1.

на уроке математики

В качестве примера рассмотрим задачу: Вычислить сумму:

- і " 1 • 2 + 2 • З + 3 • 4 + ''' + п • (n + 1)' Так как Si = 1/2, S2 = 2/3, S3 = 3/4, S4 = 4/5, S5 = 5/6, то можно предположить, что Sn = n/(n + 1). Для n = 1 это равенство истинно, так как Si = 1/2. Предположим, что оно выполняется для п = к, то есть Sk = к/(к +1). Докажем, что она верна и для п = к + 1, то есть Sk+i = (к + 1)/(к + 2) :

9 =9 | 1 = к | 1

Ok +1 Ok -h ^ + + 2) + х -h ^ + ^ + 2)

/с(/с + 2) + 1 _ к2 + 2к + 1 _ /с + 1 + l)(fc + 2) (fc + l)(fc + 2) /с + 2' Утверждение доказано, задача решена.