16.Понятие асимптоты графика функции. Горизонтальные, наклонные и вертикальные асимтоты. Примеры.
Определение. Асимптотой графика функции 
называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки 
до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
Различают вертикальные (рис. 6.6 а), горизонтальные (рис. 6.6 б) и наклонные (рис. 6.6 в) асимптоты.
Теорема 1. В точках вертикальных асимптот (например, 
) функция 
терпит разрыв, ее предел слева и справа от точки 
равен 
:
и (или) 
.
Теорема 2. Пусть функция 
определена при достаточно больших 
и существуют конечные пределы
и 
.
Тогда прямая 
является наклонной асимптотой графика функции 
.
Теорема 3. Пусть функция 
определена при достаточно больших и существует предел функции 
. Тогда прямая 
есть горизонтальная асимптота графика функции 
.
Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты, когда 
. Поэтому, если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.
Пример. Найти асимптоты графика функции 
.
Решение. В точке 
функция не определена, найдем пределы функции слева и справа от точки :
; 
.
Следовательно, - вертикальная асимптота.
 | Найдем наклонную асимптоту:
Таким образом, |
; 
. 
- наклонная асимптота (рис. 6.7).