Послесловие редактора перевода

Итак, читатель, вы познакомились еще с одной кни­гой по «развлекательной математике», составленной французским инженером Жан-Клодом Байифом — вы­пускником прославленной парижской Политехнической школы, одного из самых престижных высших учебных заведений Франции, в котором некогда преподавали великие математики Гаспар Монж (1746—1818) и Жо­зеф Луи Лагранж (1736—1813), Огюстен Коши (1789—1857) и Жан Батист Фурье (1768—1830).

Структура книги «Логические задачи» не совсем обычна. Через всю книгу проходят две «магистральные темы»: задачи на разрезание и складывание фигур (гла­вы 2, 6 и 10) и задачи на обнаружение фальшивой (от­личающейся по весу от остальных) монеты с помощью взвешиваний на чашечных весах без гирь (главы 4, 8 и 11). Названные главы даже по внешней форме не­сколько отличаются от остальных — хотя бы тем, что здесь, как правило, отдельные задачи просто нумеру­ются, тогда как в других разделах книги каждая задача имеет свой заголовок. Более существенное различие состоит в том, что задачи каждого из этих циклов в из­вестной степени взаимосвязаны и решение очередной задачи вполне может опираться на предшествующие. Другие разделы книги (главы 1, 3, 5, 9 и 12) более обыч­ны для сборников математических развлечений и со­держат просто наборы забавных совершенно не зави­симых одна от другой задач разного уровня трудности, хотя и здесь можно усмотреть определенные общие идеи, в известной степени объединяющие эти разнород­ные задачи. Наконец, главы 7 и 13 вообще не содер­жат задач — они посвящены обсуждению двух важных тем, связанных с теорией вероятностей и с математиче­ской логикой.

В принятом делении наук на общественные, естест­венные и технические математика занимает особое ме­сто. Объектом исследования общественных наук (к ним относятся история, социология, экономика, филология, искусствоведение, юриспруденция и т. д.) служит че­ловеческое общество; естественные науки (физика, хи­мия, астрономия, биология, геология и т. д.) изучают реальный физический мир, который нас окружает. Ма­тематика же изучает абстрактные схемы, конструкции, рожденные жизнью, но затем в определенной степени утратившие свою связь с реальностью. «Линия есть дли­на без ширины»,— декларирует Евклид на первой же странице своих прославленных «Начал», предлагая далее изучать этот призрачный, далекий от всякой ре­альности образ.

Быть может, именно с этой уникальностью места, занимаемого математикой во всей системе наук, связано ее поразительное разнообразие, наличие внутри нее самых разных подходов и точек зрения, мирно — а ино­гда и не совсем мирно — уживающихся в этой обшир­ной области знаний. Здесь я имею в виду отнюдь не су­ществование целого ряда автономных математических дисциплин: алгебры и геометрии, математического ана­лиза и теории вероятностей — причем сегодня каждое из названных четырех направлений распалось на мно­жество различных течений, многие из которых тоже получили статут самостоятельных наук. Нет, разные подходы к математике в целом определяют гораздо бо­лее глубокие общие моменты.

Существенным вопросом, способствовавшим воз­никновению разных точек зрения на существо матема­тической науки, безусловно, явился вопрос о взаимо­отношении математики и реального мира. Что такое математика? Есть ли это наука об определенной кате­гории свойств реально существующих объектов или она целиком «погружена в себя» и с внешним миром не свя­зана? Рассматриваем ли мы математику как естествен­нонаучную дисциплину — именно так относились к ней во всех культурных формациях, предшествующих Древ­ней Греции,— или, подобно Пифагору и Платону, мыс­лим ее как чистую логику? На самом деле, разумеется, ни строгой границы, ни каких бы то ни было противоре­чий здесь нет: происхождение математических по­нятий тесно связано со стремлением разобраться в строении окружающего нас мира, однако наибольшую полноту возможностей для использования математики в жизни доставляет именно намеренный отрыв ее от реально существующих объектов.

Достаточно глубоким является и принципиальное различие между алгебраическими и геометрическими подходами к отдельным проблемам, связанное с прису­щими человеческому мышлению способностями как к анализу (алгебра), так и синтезу (геометрия). Сущ­ность этого различия становится нам ясной только се­годня в связи с сенсационными открытиями в области высшей нервной деятельности человека, в частности в области разграничения функций левого («аналити­ческого», или «алгебраического») и правого («синте­тического», или «геометрического») полушарий голов­ного мозга^[26]. Обращаясь к настоящей книге, укажем, что одна из двух ее сквозных тем — о разрезании фигур — представляет здесь геометрию, тогда как тема о взвешивании монет имеет последовательно алгебраи­ческий (алгоритмический, логический) характер. Воз­можно, что и традиционное противопоставление «мате­матики непрерывного», представленной в первую оче­редь дифференциальным и интегральным исчислением Ньютона и Лейбница и выросшими отсюда дисципли­нами (дифференциальные уравнения, вариационное ис­числение или функциональный анализ), и «математи­ки дискретного» в каком-то смысле тоже связано с ука­занным различием между геометрией и алгеброй, между «правомозговым» и «левомозговым» мышлением. В свое время дискретная математика была сильно потеснена математическим анализом (о чем свидетельствует, например, ныне уже безусловно неуместный термин «высшая математика» в применении к дифференциаль­ному и интегральному исчислению), но сегодня — в зна­чительной степени в связи с созданием ЭВМ — она сно­ва занимает подобающее ей важное место. И настоя­щая книга, в соответствии с тенденциями последних десятилетий, почти целиком обращена к «дискретной математике» сегодняшнего дня.

Принципиальным и не простым является противо­стояние «чистой» и «прикладной» математики: ведь при­кладная математика базируется отнюдь не только на от­точенной логике дедуктивных выводов — у нее есть своя «логика», свои «правила игры»¹. Так, например, столь «примитивный» метод решения математических проб­лем, как метод перебора, не пользуется высокой репу­тацией в области чистой математики — однако во мно­гих прикладных вопросах он является одним из основ­ных. В связи с этим заслуживает внимания широта ис­пользования этого метода в решении многих задач на­стоящей книги — это обстоятельство, как нам кажется, выдает в авторе книги специалиста по прикладной мате­матике, для которого перебор вариантов (машинный или осуществляемый вручную) является весьма привыч­ной процедурой.

Обращаясь снова к «магистральным» темам настоя­щей книги, укажем, что тема о разрезании и склады­вании фигур^{[27] [28] тесно связана с достаточно глубокими и трудными вопросами чисто теоретического характе­ра1, что и определяет «научную актуальность» этой, казалось бы, достаточно простой темы. Что же касает­ся вопроса об обнаружении фальшивой монеты с помо­щью взвешиваний, то для читателя может явиться не­ожиданностью резонанс, который получила в последнее время эта явно шуточная проблематика: полная библио­графия книг, в которых затронуты задачи такого рода, и статей, специально им посвященных, насчитывает ны­не многие десятки названий, причем статьи на эту тему систематически печатаются в серьезных научных жур­налах, посвященных, скажем, теории информации или комбинаторному анализу. Причиной этого является тес­ная связь «задачи о монетах» с весьма серьезными проблемами современной прикладной математики[29] [30].}

Наконец, главы 7 и 13 книги «Логические задачи» посвящены обсуждению важных тем из «чистой» ма­тематики, но трактуемых, в основном, с точки зрения прикладника^[31]. При этом читателя не должно смущать, что «прикладной аспект» гл.

В противоположность упомянутой дифференциации внутри математической науки противопоставление ма­тематики занимательной — математике серьезной не следует считать сколько-нибудь принципиальным. Ма­тематическая наука издавна черпала многие постанов­ки вопросов и важные новые понятия из области мате­матических развлечений; в качестве примеров здесь можно указать, скажем, на зарождение теории графов из эйлеровской задачи о кёнигсбергских мостах¹ или связь принадлежащей тому же Эйлеру задачи о 36 офицерах с современной теорией конечных плоско­стей^{[32] [33].}

Вместе с тем авторы сборников математических раз­влечений — и эта книга отнюдь не составляет исклю­чения — весьма охотно использовали серьезные мате­матические теории для создания новых задач и голово- ломок. Так что «занимательная» и «серьезная» мате­матика — это одна наука, и, обдумывая забавные проб­лемы из книг по занимательной математике или решая собранные в этих книгах задачи, вы не только получаете удовольствие, но и приобретаете весьма полезные зна­ния и навыки. И мы хотим надеяться, что книга Ж.-К. Бай- ифа «Логические задачи» доставит читателю немало приятных мгновений, и уверены, что она принесет ему пользу.

И. М. Яглом