32. Ф-ция влияния мгновенного цилиндрического источника тепла.
Предположим, что в нач.м-т времени на единице длины ¥ цилиндрической пов-ти радиуса r’ мгновенно выделилась Q=2pr’Qуд равномерных единиц тепла. Найти распр-е тем-ры, обусловленное действием такого цилиндрического источника.
Пусть размерность б [Дж/м]. Q’ – плотность распр-я энергий с размерностью [Дж/м2]. Пусть ось z совпадает с осью цилиндра. Выполним сечение цилиндрической пов-ти пл-тью z=const. Выделим эл. уч-к на этой окр-ти длиной r’dj’. Выделенному эл.уч-ку r’dj’ соот-т линейный источник тепла мощностью Q’r’dj’. Очевидно, распр-е тем-ры, обусловленное действием условного источника, б.представлять собой интеграл по окр-ти от всех линейных источников.
В силу цил.с-мы температурное поле б.зависеть только от одной оси (от z и j не зависит). Преобразуем этот ò
Введём в рассмотрение след.ф-цию:
– ф-ция Бесселя нулевого порядка мнимого аргумента.
Тогда окончательное реш-е получим в след.виде:
Если в ф-ле (1) заменить u на G и Q взять =1, то получим ф-цию Грина, кот. позволяет решать ур-я теплопроводности в цилиндрическо-симметричном случае. Запишем постановку такой задачи:
Реш-е задачи Коши (2) даёт след.интеграл Пуассона
– интеграл Пуассона д/задачи (2). Частный случай:
Устремим r’ к 0. Выделение тепла происходит на ¥ тонкой нити. Реш-е мб получено из ф-лы (1) предельным переходом. Тогда I0=1 и получим:
Полученная ф-ция явл.ф-цией влияния ¥ тонкой нити.