№33. Преобразование Лапласа. Образы простых функций.

Определение 1: Преобразованием Лапласа для комплекснозначной функции действительного переменного f(t) наз-ся несобственный интеграл с комплексным параметром р: ò(от 0 до +¥)f(t)e^-ptdt=F(p)=A(f(t)) (1)

Эта функция комплексного переменного F(p) наз-ся также изображением функции f(t) (по Лапласу).

Т-ма о существовании изображения.

Если: 1) f(t) кусочно-непрерывна на [0, +¥[ (т.е. на каждом конечном отрезке [a, b]Ì[0, +¥[ может иметь только конечное число точек разрыва 1-го рода - устранимых или скачков), 2) f(t) при t®+¥ растет не быстрее экспоненты: |f(t)|£Me^st, где М?0 и s?0 - некоторые постоянные, то в полуплоскости Rep>s сущ-ет изображение F(p) (т.е. несобственный интеграл (1) сходится), аналитическое в этой полуплоскости.

 Сначала заметим, что благодаря равенству ò(от a до b)z(t)dt=ò(от a до b)x(t)dt+i?ò(от a до b)y(t)dt определенный интеграл от комплекснозначной функции действительного переменного обладает обычными св-вами интеграла от действительнозначной функции действительного переменного. Т.к. e^-ptÎC[0, +¥[, то f(t)e^-pt, |f(t)e^-pt| тоже кусочно-непрерывны на [0, +¥[, и потому сущ-ют ò(от 0 до b)f(t)e^-ptdt и ò(от 0 до b)|f(t)e^-pt|dt. Если покажем, что при Rep>s интеграл (1) абсолютно сходится, т.е. сущ-ет ò(от 0 до +¥)|f(t)e^-pt|dt=lim ò(от 0 до b)|f(t)e^-pt|dt?¥ (при b®¥), то отсюда будет следовать, что и сам интеграл (1) сходится, т.е. сущ-ет F(p)=ò(от 0 до +¥)f(t)e^-ptdt=lim ò(от 0 до b)f(t)e^-ptdt (при b®¥).

lim ò(от 0 до b)Me^(s-Rep)tdt=M?lim (e^(s-Rep)t/(s-Rep)) (от 0 до b)=M/(s-Rep)?lim (e^(s-Rep)b-1)= |s-Reps примем без док-ва. g

Определение 2: Комплекснозначная функция действительного переменного f(t), определенная на [0, +¥[ и удовлетворяющая условиям 1) и 2) т-мы о существовании изображения, наз-ся оригиналом. Число s наз-ся показателем роста оригинала.

Ясно, что если s₁>s, то тем более |f(t)|£Me^s1t, поэтому любое большее число s₁ также явл-ся показателем роста. Если бывает нужно рассмотреть оригинал f(t) на всем интервале ]-¥, +¥[ , то полагают f(t)=0 при ts.

Т-ма обращения. Если f(t) - оригинал с показателем роста s, а F(p) - его изображение, то во всех точках, где f(t) непрерывна, выполняется равенство f(t)=1/(2pi)?ò(от a-i¥ до a+i¥)F(p)e^ptdp=A^-1(F(p)), (2)

где а - любое действительное число, большее s, а интеграл берется по прямой g={p: Rep=a} и понимается как предел интеграла по отрезку от a-ib до a+ib при b®a.

 Без док-ва g

Т.о., каждому изображению F(p) по формуле (2) соответствует единственный оригинал f(t) (с точностью до значений в точках разрыва: оригиналы, отличающиеся значениями только в точках разрыва, имеют одно и то же изображение F(p)=

=ò(от 0 до +¥)f(t)e^-ptdt, т.к.

Изображения некоторых элементарных функций.

1) Единичная функция Хевисайда. h=1(t)={0, при t0.

(т.к. для изображения F(p) значение функции f(t) в одной точке не имеет значения, то h(0) можно не задавать). Т.к. h(t) ограничена, то показатель роста s=0, и в полуплоскости Rep>0 сущ-ет аналитическое изображение F(p)=A(h(t))=

=ò(от 0 до +¥)h(t)e^-ptdt=ò(от 0 до +¥)e^-ptdt=e^-pt/-p (от 0 до +¥)=| |e^-pt|=e^-Rept®0 ? e^-pt®0|=0+1/p; h(t)¸1/p, или 1¸1/p.

2.Экспонета e^lt, lÎC. |e^lt|=e^Relt ? s=Rel, и в полуплоскости Rep>Rel: F(p)=A(e^lt)=ò(от 0 до +¥)e^lte^-ptdt=e^(l-p)t/(l-p) (от 0 до +¥)= | |e^(l-p)t|=e^(Rel-Rep)t®0 ? e^(l-p)t®0| =0+1/(p-l); e^lt¸1/(p-l).

3.Степенная функция tⁿ (nÎN). При t®¥ |tⁿ|£e^et при любом e>0, так что показатель роста s=inf{e}=0, и в полуплоскости Rep>0: F(p)=A(tⁿ)=ò(от 0 до +¥)tⁿe^-ptdt= |u=tⁿ; dv=e^-ptdt| =tⁿ(-1/p?e^-pt)(от 0 до +¥) - ò(от 0 до +¥)(-1/p?e^-pt)nt^n-1dt= | |e^-pt|=

=e^-Rept®0 ? |tⁿe^-pt|=tⁿe^-Rept®0 ? tⁿe^-pt®0| =0+n/pò(от 0 до +¥)t^n-1e^-ptdt= |u=t^n-1; dv=e^-ptdt| =n/p[t^n-1(-e^-pt/p) (от 0 до +¥) -

ò(от 0 до +¥)(-1/p?e^-pt)(n-1)t^n-2dt] =n(n-1)/p² ?ò(от 0 до +¥)t^n-2e^{- pt}dt=...=n(n-1)...(n-(n-1))/pⁿ?ò(от 0 до +¥)t^n-ne^-ptdt=

= n!/pⁿ?(-1/p?e^-pt) (от 0 до +¥)=n!/pⁿ?(0+1/p)=n!/pⁿ⁺¹; tⁿ ¸ n!/pⁿ⁺¹.