№27. Основные свойства преобразования Лапласа.

Св-ва изображения позволяют находить изображения сложных оригиналов через известные изображения простых оригиналов, не вычисляя интеграла Лапласа.

1) Линейность. Линейная комбинация оригиналов преобразуется в линейную комбинацию изображений: для любых комплексных постоянных с₁,...,с_n c₁f₁(t)+...+c_nf_n(t) ¸ c₁F₁(p)+...+c_nF_n(p).

 Если f_i(t) имеют показатели роста s_i (i=1,...,n), то f(t)=c₁f₁(t)+...+c_nf_n(t) - оригинал с показателем роста s=max{s₁,...,s_n}. Действительно, f(t) кусочно-непрерывная кака линейная комбинация кусочно-непрерывных функций. Кроме того, |f(t)|£

£ |c₁|?|f₁(t)|+...+|c_n|?|f_n(t)| £|c₁|?M₁e^s1t+...+|c_n|?M_ne^snt £|все s_i£s| £|c₁|?M₁e^st+...+|c_n|?M_ne^st =Me^st, где M=|c₁|?M₁+...+|c_n|?M_n и по определению оригинала f(t) - оригинал с показателем роста s. В полуплоскости Rep>0 она имеет изображение F(p) =ò(от 0 до +¥)f(t)e^-ptdt =ò(от 0 до +¥)(c₁f₁(t)e^-pt+...+c_nf_n(t)e^-pt)dt =|линейность интеграла| =с₁?ò(от 0 до +¥)f₁(t)e^-ptdt+...+c_n?ò(от 0 до +¥)f_n(t)e^-ptdt =c₁F₁(p)+...+c_nF_n(p) g

Примеры: При любом wÎС: sinwt =(e^iwt-e^-iwt)/(2i) =1/(2i)?e^iwt-1/(2i)?e^-iwt ¸1/(2i)?1/(p-iw)-1/(2i)?1/(p+iw) =w/(p²+w²);

sinwt ¸w/(p²+w²).

2.Подобие. [f(t) ¸F(p), Rep>s] ? [("a>0): f(at) ¸1/a?F(p/a), Rep>as] (при умножении аргумента оригинала на положительное число изображение и его аргумент делятся на это число).

 f(at) кусочно-непрерывная как сложная функция, составленная из кусочно-непрерывной функции f(t) и непрерывной функции t=at. Кроме того, по условию |f(t)|£Me^st, так что |f(at)| £Me^s(at) ? |f(at)| £Me^s1t, где s₁=as. Значит, f(at) - оригинал с показателем роста as, и в полуплоскости Rep>as: A(f(at)) =ò(от 0 до +¥)f(at)e^-ptdt =|at=t, t=t/a, dt=dt/a| =

=1/a?ò(от 0 до +¥)f(t)e^-pt/adt =1/a?F(p/a) g

3.Запаздывание оригинала. [f(t) ¸F(p), Rep>s] ? [("t>0): f(t-t) ¸e^-ptF(p), Rep>s] (включение оригинала с запаздыванием на t влечет умножение изображения на e^-pt).

 f(t-t) кусочно-непрерывна как сложная функция из кусочно-непрерывной функции f(z) и непрерывной z=t-t. Кроме того, по условию |f(t)| £Me^st, так что |f(t-t)| £Me^s(t-t) =(Me^-st)e^st ? |f(t-t)| £M₁e^st, где M₁ =e^-st = const. Значит, f(t-t) - оригинал с показателем роста s, и для Rep>s A(f(t-t)) =ò(от 0 до +¥)f(t-t)e^-ptdt =|при ts+Rel A(e^ltf(t)) =

=ò(от 0 до +¥)e^ltf(t)e^-ptdt =ò(от 0 до +¥)f(t)e^-(p-l)tdt =F(p-l) g

Примеры: sinwt ¸w/(p²+w²) ? e^ltsinwt ¸w/((p-l)²+w²).

5.Дифференцирование оригинала. Если f⁽ⁿ⁾(t) - оригинал с показателем роста s, и f(t) ¸F(p), то

f⁽ⁿ⁾(t) ¸pⁿF(p)-p^n-1f(0)-p^n-2f `(0)-...-pf<sup>(n-2)</sup>(0)-f<sup>(n-1)</sup>(0) при Rep>s. В частности, если f(0) =f `(0) =...=f^(n-1)(0)=0, то f⁽ⁿ⁾(t) ¸pⁿF(p)

(при дифференцировании оригинала изображение умножается на р).

Покажем сначала, что если некоторая функция g(t) есть оригинал с показателем роста s, то h(t)=ò(от 0 до t)g(u)du есть тоже оригинал с тем же показателем роста. Во первых h(t) как интеграл с преременным верхним пределом есть непрерывная функция. Кроме того, |g(t)| £Me^st ? |h(t)| =|ò(от 0 до t)g(u)du| £ò(от 0 до t)|g(u)|du £ò(от 0 до t)Me^sudu =M/s?e^su (от 0 до t) =M/s?(e^st-1) £M/s?e^st ? |h(t)| £M₁e^st ? h(t) - оригинал с показателем роста s. Если f `(t) - оригинал с показателем роста s, то, по доказанному, h(t) =ò(от 0 до t)f `(u)du - тоже оригинал с показателем роста s. Но

ò(от 0 до t)f `(u)du =f(t)-f(0) ? f(t)=h(t)+f(0). f(0)=const есть оригинал с показателем роста s<sub>0</sub>=0. Значит (из док-ва линейности), f(t) есть оригинал с показателем роста max{s, 0} =s. Т.о., если f<sup>(n)</sup>(t) есть оригинал с показателем роста s, то и f<sup>(n-1)</sup>(t),...,f `(t) и f(t) - оригиналы с тем же показателем роста s. Поэтому при Rep>s: A(f `(t)) =ò(от 0 до ¥)f `(t)e^-ptdt =

=|f `(t)dt=dv; e<sup>-pt</sup>=u| =e<sup>-pt</sup>f(t) (от 0 до ¥) - ò(от 0 до ¥)f(t)(-pe<sup>-pt</sup>)dt =| |f(t)e<sup>-pt</sup>| =|f(t)|?e<sup>-Rept</sup> £Me<sup>st</sup>e<sup>-Rept</sup> =Me<sup>(s-Rep)t</sup>®0 ? f(t)e<sup>-pt</sup>®0| =0-f(0)+pò(от 0 до ¥)f(t)e<sup>-pt</sup>dt ? f `(t) ¸pF(p)-f(0).

6) Дифференцирование изображения. [f(t) ¸F(p), Rep>s] ? [F⁽ⁿ⁾(p) ¸(-t)ⁿf(t), Rep>s] (дифференцирование изображения влечет умножение оригинала на -t).

 F(p) - аналитическая на полуплоскости Rep>s, а значит, бесконечно дифференцируема: F `(p) =(ò(от 0 до ¥)f(t)e<sup>-pt</sup>dt)`_p =

=|можно доказать законность дифференцирования под знаком интеграла| =ò(от 0 до ¥)(-t)f(t)e^-ptdt ? F `(p) ¸(-t)f(t). Повторяя n раз, получим F⁽ⁿ⁾)p) ¸(-t)ⁿf(t). g

Пример: Найдем A(tsinwt). sinwt ¸w/(p²+w²) ? (-t)sinwt ¸(w/(p²+w²))`_p =-2pw/(p²+w²)² ? tsinwt ¸2wp/(p²+w²)

7.Интегрирование оригинала. [f(t) ¸F(p), Rep>s, f(t)ÎC[0, ¥[] ? [ò(от 0 до t)f(t)dt ¸F(p)/p, Rep>s] (интегрирование оригинала влечет деление изображения на р).

 Функция ò(от 0 до t)f(t)dt - тоже оригинал с тем же показателем s (из док-ва св-ва дифференцирования оригинала), и в полуплоскости Rep>s сущ-ет A(ò(от 0 до t)f(t)dt) =Ф(р): h(t) =ò(от 0 до t)f(t)dt ¸Ф(р) ?|по св-ву дифференцирования оригинала| =(ò(от 0 до t)f(t)dt)` ¸pФ(р)-h(0) =pФ(р). Т.к. f(t)ÎC[0, +¥[, то (ò(от 0 до t)f(t)dt)` =f(t), так что f(t) ¸рФ(р). Но f(t) ¸F(p) и ввиду единственности изображения рФ(р)=F(p) ? Ф(р) =F(p)/p g

8.Интегрирование изображения. [f(t) ¸F(p), Rep>s] ? [f(t)/t ¸ò(от р до ¥)F(z)dz, если интеграл сходится, Rep>s], где интеграл берется по любому кусочно-гладкому пути от точки р до ¥ в полуплоскости Rep>s (интегрирование изображения влечет деление оригинала на t).

 Без док-ва (заметим, что F(z)ÎH{z: Rez>s} и потому интеграл не зависит от выбора пути. g

Пример: e^bt-e^at ¸1/(p-b)-1/(p-a) ? (e^bt-e^at)/t ¸ò(от р до ¥)(1/(z-b)-1/(z-a))dz =|главное значение логарифма| =ln((z-b)/(z-a)) (от р до ¥) =|(z-b)/(z-a)®1| =ln1-ln((p-b)/(p-a)) ? (e^bt-e^at)/t ¸ - ln((p-b)/(p-a)).

9.Умножение изображений. [f(t) ¸F(p), Rep>s₁; g(t) ¸G(p), Rep>s₂] ? [F(p)?G(p) ¸ò(от 0 до t)f(t)g(t-t)dt,

Rep>max{s₁, s₂}=s]

 ò(от 0 до t)f(t)g(t-t)dt =j(t) есть интеграл с параметром t, который одновременно явл-ся и верхним пределом. Можно док-ть, что для кусочно-непрерывных функций f(t) и g(t) функция j(t) явл-ся непрерывной. Кроме того, [|f(t)|£M₁e^s1t,

|g(t)| £M₂e^s2t] ? |j(t)| £ò(от 0 до t)|f(t)|?|g(t-t)|dt £ò(от 0 до t)M₁e^st?M₂e^s(t-t)dt =M₁M₂?ò(от 0 до t)e^stdt =M₁M₂e^st?ò(от 0 до t)dt= = M₁M₂te^st =M₁M₂?te^(s+e)t/e^et. Т.к. lim (при t®¥)t/e^et=0, то при t®¥ функция t/e^et ограничена: |t/e^et| £C. Значит, |j(t)| £

£M₁M₂Ce^(s+e)t =Me^(s+e)t, т.к. inf (при e>0)(s+e) =s, то j(t) есть оригинал с показателем роста s =max{s₁, s₂}. Поэтому при Rep>s: A(j(t)) =ò(от 0 до +¥)(ò(от 0 до t)f(t)g(t-t)dt)e^-ptdt =ò(от 0 до +¥)dtò(от 0 до t)f(t)g(t-t)e^-ptdt =|изменим порядок интегрирования| =ò(от 0 до ¥)dtò(от t до ¥)f(t)g(t-t)e^-ptdt =ò(от 0 до ¥)f(t)dtò(от t до ¥)g(t-t)e^-ptdt =|во внутреннем интеграле: t-t =z, dt=dz, при t=t z=0, при t=¥ z=¥| =ò(от 0 до ¥)f(t)dtò(от 0 до ¥)g(z)e^-p(z+t)dz =

=ò(от 0 до ¥)f(t)e^-ptdtò(от 0 до ¥)g(z)e^-pzdz =|G(p)=const (не содержит t)| =G(p)?ò(от 0 до ¥)f(t)e^-ptdt =G(p)?F(p) g

Определение 1: Интеграл ò(от 0 до t)f(t)g(t-t)dt наз-ся сверткой функций f(t) и g(t): ò(от 0 до t)f(t)g(t-t)dt =f*g.

Следствие (формула Дюамеля): [f(t) ¸F(p), Rep>s₁; g(t) ¸G(p), Rep>s₂; g(t) - оригинал] ? [f(t)g(0)+f*g` ¸pF(p)G(p), Rep>s=max{s₁, s₂}]

pF(p)G(p) =F(p)[pG(p)-g(0)+g(0)] =F(p)[pG(p)-g(0)]+g(0)F(p). По св-ву 5): pG(0)-g(0) ¸g`(t), по св-ву 9):

F(p)[pG(p)-g(0)] ¸f*g`. С учетом g(0)F(p) ¸g(0)f(t) по св-ву линейности получаем pF(p)G(p) ¸f*g`+g(0)f(t) g

10. Умножение оригиналов. [f(t) ¸F(p), Rep>s₁; g(t) ¸G(p), Rep>s₂] ? [f₁(t)?f₂(t) ¸1/(2pi)?ò(от a-i¥ до a+i¥)F(z)G(p-z)dz, Rep>s=s₁+s₂], где аÎR - любое число >s, а путь интегрирования такой же, как в т-ме обращения.

 Без док-ва g. (интеграл в правой части наз-ся сверткой функций F(p) и G(p) в комплексной плоскости: F*G. Т.о., умножение оригиналов влечет свертывание изображений.

Таблица основных оригиналов и изображений.

1 ¸1/p; e^lt ¸1/(p-l); tⁿ ¸n!/pⁿ⁺¹; sinwt ¸w/(p²+w²); coswt ¸p/(p²+w²); shwt ¸w/(p²-w²); chwt ¸p/(p²-w²); te^lt ¸1/(p-l)²;

tsinwt ¸2wp/(p²+w²)²; tcoswt ¸(p²-w²)/(p²+w²)²; tshwt ¸2wp/(p²-w²)²; tchwt ¸(p²+w²)/(p²-w²)².

Нахождение оригинала по изображению.

Оригинал f(t) можно найти по формуле обращения, вычисляя интеграл: f(t) =1/(2pi)?ò(от a-i¥ до a+i¥)F(p)e^ptdp вдоль вертикальной прямой Rep=a в полуплоскости Rep>s, где F(p) аналитична (s - показатель роста оригинала). В частности, можно док-ть, что если в остальной части плоскости имеется только конечное число изолированных особых точек р₁,...,p_n и выполняется условие lim (при р®¥)F(p)=0, то f(t) =1/(2pi)?ò(от a-¥ до a+¥)F(p)e^ptdp =a(от k=1 до n)Res F(p)e^pt. (1)

В случае, когда F(p) - рациональная функция (частное многочленов), являющаяся правильной дробью F(p)=A(p)/B(p), то она имеет на всей плоскости только конечное число полюсов (если дробь несократима, то полюсами явл-ся нули знаменателя, а их - конечное число: столько, какова степень знаменателя). Кроме того, условие lim (при p®¥)F(p)=0 выполняется, т.к. степень знаменателя больше. Значит, для такой дроби формула (1) верна:

f(t) =a(от k=1 до n)Res A(p)/B(p)?e^pt

Пример 1: F(p)=p/(p²-1)² - правильная дробь, p₁=-1, p₂=1 - полюсы второго порядка.

f(t) =Res(в точке р=-1)pe^pt/(p²-1)² + Res(в точке р=1)pe^pt/(p²-1)² =1/1!?lim(при р®-1)(pe^pt/(p²-1)²?(p+1)²)`_p +

+ 1/1!?lim(при р®1)(pe^pt/(p²-1)²?(p-1)²)`_p =1/2?t?sht.

Оригинал правильной дроби можно найти также, разложив ее на простейшие дроби (методом неопределенных коэффициентов), пользуясь таблицей изображений и линейностью изображений.

Пример 2: F(p) =(3p²+3p+2)/((p-2)(p²+4p+8)) =A/(p-2) + (Mp+N)/(p²+4p+8) =1/(p-2) + (2p+3)/(p²+4p+8); 1/(p-2) ¸e^2t;

(2p+3)/(p²+4p+8) =(2p+3)/((p+2)²+2²) =(2(p+2)-1)/((p+2)²+2²) =2?(p+2)/((p+2)²+2²) - 1/2?2/((p+2)²+2²) ¸

¸2cos2t?e^-2t - 1/2?e^-2tsin2t; (3p²+3p+2)/((p-2)(p²+4p+8)) ¸e^2t + e^-2t(2cos2t-1/2?sin2t).