8. Определитель Фредгольма.
Ф. предположил, что резольвента явл. мероморфной ф-цией от-но l (мероморфная = дробная). Резольвента сущ. при всех значениях l за исключением особых точек. Р-м ИУФ.
Запишем интеграл в ур-ии (1) частичной суммой.
Пр-к [a;b] разобьём на n частей шагом h: h=(b–a)/n.Тогда ур-е (1) перепишем в след.виде:
Вместо ф-ции j(t) б.р-ть дискр.ф-цию j(ti), причём шаг аргумента у этой ф-ции = h. j(t) ® j(ti) = ji; ti+1 – ti=h.
Тогда (2) м.переписать
(3) явл.СЛАУ. Определитель этой с-мы:
Определитель (4) мб записан как многочлен по степеням l.
Если чётный – то «+», если нечётный – то «–».
Сумма Римана – частичная сумма интеграла. При n®¥ мы в пред.случае получим
В предыдущем случае при n®¥ выр-е (5) представляет бесконечный ряд.
dn представляет собой ò-ы, индекс «n» указывает на кратность интеграла. (6) даёт выр-е д/определителя Ф.
Ф-ция D(l), полученная в результате предельного перехода из определителя Крамера, – определитель Ф. D(l) явл. знаменателем д/резольвенты.
Введём обознач-я определителей.
d 0=1. Ряд (6) сходится при всех знач-ях l. Покажем это, используя оценку Адамара. Оценка Адамара:
D = //aij//, / aij / £ M n-го ранга
/D/ < ([On] M)n
Коэфф-ты /d n/ £ ([On] M (b–a))n
n-й член ряда (6) мб оценён так:
Отн-е n-го коэфф-та к предыдущему – признак сходимости Даламбера.
® ряд (6) сходится д/всех значений l.