№20. Обратное преобразование Лапласа. Разложение оригинала в сумму.
Преобразова?ние Лапла?са — интегральное преобразование, связывающее функцию 
комплексного переменного (изображение) с функцией 
действительного переменного (оригинал).
Обратное преобразование Лапласа
Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного , называется функция 
действительного переменного, такая что: 
где 
— некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.
На практике приходится искать оригинал, изображение которого представляет собой правильную рациональную дробь.
Известно, что такую дробь можно представить в виде суммы простейших дробей четырёх видов: 
где корни знаменателя комплексные, то есть дискриминант квадратного трёхчлена, стоящего в знаменателе дроби, отрицателен; 
корни знаменателя комплексные.
Мы рассмотрим лишь дроби трёх первых видов. Для дроби 1-го вида имеем 
для дроби 2-го вида на основании формулы (12) таблицы изображений и оригиналов получим: 