10.2 Теоремы Фредгольма о собственных значениях и собственных ф-циях.
Теорема 3: При значениях l, равных корню ур-я D(l)=0 однородное ур-е имеет нетривиальное решение
Док-во: Разложим резольвенту в окр-ти l0 в ряд Лорана, где l0 – один из корней ур-я D(l)=0.
Ряд Лорана содержит 2 части: главная (по «–» степеням) и правильная (по «+» степеням). Б.считать, что l0 – полюс n-го порядка д/резольвенты (порядок полюса фиксирован).
Подставим выр-е (3) в одно из соотн-й (1).
Домножим (4) на скобку (l–l0)n, примем l=l0. Макс. «–» степень ряда слева б.степень n. При домножении * (l–l0 ) n ®0, останется:
K(t,S)=0 при домножении (l–l0)n.
Ур-е (5) н.рассматривать как однородное ИУ д/искомой ф-ции a–n при фиксированном значении S. Очевидно, что a–n (t,S)º0. Иначе понизится порядок полюса д/резольвенты в т-е l0. Мы это зн-е фиксировали и брали равным n. ЧТД #
Из т-мы 3 следует, что ненулевые реш-я однородного ур-я, соответствующие зн-ю l0, явл. собственными ф-циями ИУ (или ядра ИУ, что одно и то же). Зн-е l0 (корень ур-я D(l)=0) наз. собственным значением.
Теорема 4: Всякому собственному зн-ю соответствует лишь конечное число собственных ф-ций, т.е. ранг собственного значения конечен.
Док-во: Пусть l0 – собственное зн-е ранга m, т.е. ему соответствует m линейно независимых собственных ф-ций: j1(t), j2(t), …, jm(t). Б. полагать, что ф-ции jj(t), j=1..m, ортогональны и нормированы.
Усл-е О и Н м.получить всегда – процесс ортогонализации Шмидта.
Р-м однородное ур-е с l=l0.
В левой части этого рав-ва jj(t)/l0 – коэф-ты ряда Фурье – разложение ядра К(t,S) в ряд по собственным ф-циям jj(t). Д/коэф-тов разложения справедливо нер-во Бесселя: есть ф-ция, кот.раскладываем в ряд Фурье. Сумма квадратов коэф-тов разложения £ ò от квадрата раскладываемой ф-ции.
Проинтегрируем (6) по t. Вследствие нормировки:
m – ранг собств.зн-я. /K(t,S)/2 – непрерывна и принимает кон.зн-е, l0 аналогично, ранг собственного зн-я ограничен справа, ЧТД #
Союзное ур-е.
Союзным ур-ем ур-ю (1) наз.ур-е след. вида
Союзными ядрами наз.следующие: K(t,S)=K(S,t). Однородное союзное ур-е также имеет ненулевое нетривиальное реш-е при l = собственному зн-ю. Получим усл-е, при кот. неоднородное интегр.ур-е имеет реш-е, если l явл. собственным зн-ем.
Домножим (1) на y(t), где y(t) – нетривиальное реш-е однородного союзного ур-я. Проинтегрируем по t.
Выр-е в [] – ф-ция y(S), т.е. реш-е однородного союзного ур-я ? 1й и 3й òы равны ?
(3) – усл-е ортогональности ф-ции f(t) и реш-я однородного союзного ур-я. Только при усл-ии (3) неоднородное ИУ-е умеет реш-е при l, = собств.зн-ю.
В этом случае (при l, = собств.зн-ю) (1) имеет ¥ мн-во реш-й. Реш-е неодн.ур-я имеет такой вид:
j0(t) – частное реш-е неоднородного ур-я (1), а Cj – неопр. константы, m – ранг собственного зн-я. jj(t) – собств. ф-ции, соответствующие собственному зн-ю.
Альтернатива Фредгольма: Имеются две возможности: или неоднородное ИУ имеет реш-е и соответствующее ему однородное ИУ имеет только тривиальнное реш-е, или однородное ИУ имеет нетривиальное реш-е, а неодн. ИУ разрешимо не д/всех ф-ций f(t).