10.1 Теоремы Фредгольма о собственных значениях и собственных ф-циях.
Фактически восстанавливают вид решения.
Теорема 1: Если l не явл. корнем ур-я D(l)=0, то неоднородное ИУ имеет реш-е, и это реш-е выражается формулой
Док-во: Аналогично док-ву т-мы о существовании и единственности решения ИУ Ф: Если д/нек.зн-я l сущ.
такая ф-ция R(t,S;l), д/кот выполняется соотн-е (1), то ИУ при этом знач-ии l имеет ед. реш-е, определяемое ф-лой (2).Существование: * ИУ на lR(x,t;l) и проинтегрируем
Последний ò заменяем из ур-я ® f(x)–j(x).
что явл. реш-ем ур-я Ф при усл-ии /l/ < 1/[M (b–a)] (*).
Единственность: Подставим в ИУ реш-е в форме (2) и перенесём все слагаемые в левую часть.
[]=0 т.к. это одно из соотн-й (1) д/резольвенты ? реш-е, определяемое ф-лой (2) явл. единственным, ЧТД.
При док-ве т-мы о ед.реш-я пользовались соотн-ями д/R, кот. были получены д/зн-й l (*). Используя принцип аналит.продолжения ф-ции м. распространить действие в соотн-ии (1) д/резольвенты на всю область знач-й l. Резольвента сущ.д/всех зн-й l за исключением особых точек, в кот. D(l)=0 (полюсов резольвенты).
Принцип аналитического продолжения ф-ции: Если 2 целые ф-ции совпадают в некот. круге комплексных знач-й переменной l, то они б.совпадать и во всей комплексной пл-ти. Рассматриваем веществ. знач-я l.
Теорема 2: Всякий корень ур-я D(l)=0 явл. полюсом резольвенты.
Полюс – особая т-а, в кот. ф-ция принимает ¥ое зн-е.
Док-во: Предположим, что l0 – корень уравнения D(l)=0 кратности k. Сл-но, в окр-ти l0 оп-ль Ф м. представить в виде
D(l)=(l–l0)kD0(l),D0(l)?0.
Предположим также, что зн-е l0 явл. д/минора Ф нулём порядка l. Сл-но, в окр-ти l0 минор м. представить в виде: D(t,S; l) = (l–l0)l D0(t,S;l). D0(t,S;l)?0 д/всех зн-й t,S.
Н.показать, что k>l. Тогда 0 знаменателя, т.е. 0 определителя Ф, б.>0 минора Ф, т.е. числителя. Воспользуемся соотношением
t примем равное S.
В левой части этого рав-ва l0 имеет порядок (k-1), а в правой по крайней мере l, но там порядок мб больше. Сл-но, k–1?l, ЧТД.