§ 48. Четырехзначная система модальной логики

Каждая система модальной логики должна включать в качестве собственной части основную модальную логику, то есть должна иметь среди своих положений обе М-аксиомы: СрМр, *СМрри *Мри L-аксиомы: CLpp, *CpLpи *VLp.

Fдвузначного исчисления. М не может быть V, так как Мр отбрасывается, в то время как Vp= Срр прини-мается; оно не может быть S, так как СМрр отбрасы-вается, в то время как CSpp= Срр принимается, оно, наконец, не может быть ни N, ни F,так как СрМр принимается, в то время как CpNpи CpFp= CpNCpp отбрасываются. То же самое верно и для L.Функторы М и Lне имеют интерпретации в двузначной логике. Следовательно, любая система модальной логики должна быть многозначной.

Существует еще другая идея, которая приводит к тому же самому следствию. Если мы вместе с Аристотелем допустим, что некоторые будущие события, например морское сражение, случайны, то предложения о таких событиях, высказанные сегодня, не могут быть ни истинными, ни ложными, а поэтому следует иметь третье значение истинности, отличное от 1 и 0. На основе этой идеи и с помощью матричного метода, с которым я познакомился через Пирса и Шредера, я построил в 1920 году трехзначную систему модальной логики, развитую позднее в статье 1930 года К Сегодня я вижу, что эта система не удовлетворяет всем нашим интуитивным пониманиям модальностей и должна быть заменена описанной ниже системой.

Я стою на той точке зрения, что в любой модальной логике должно быть сохранено классическое исчисление предложений. До сих пор это исчисление продемонстрировало свою надежность и полезность, и оно не должно быть отвергнуто без достаточно веских оснований. К счастью, классическому исчислению предложений удовлетворяют не только двузначная матрица, но также и многозначные адекватные матрицы. Я пытался применить к модальной логике простейшую многознач-ную матрицу, адекватную С—N—5—p-системе, то есть четырехзначную матрицу, и мне удалось получить же-лаемый результат.

1Jan Lukasiewicz,О logice trojwartosciowej, «Ruch Filozoficzny», vol.

Как мы уже видели в параграфе 46, матрица М2, элементами которой являются пары значений 1 и О, следует за Nиз равенства

(г) N (a, b) = (Na, Nb).

Выражение «(Na, Nb)»представляет собой частный случай общей формы (га, С6), где s и С имеют в качестве значений функторы V, S, N и Fдвузначного исчисления. Так как каждое из четырех значений в может сочетаться с каждым из четырех значений С, мы получаем 16 комбинаций, которые определяют 16 функторов от одного аргумента четырехзначного исчисления. Я нашел среди них два функтора, каждый из которых может представлять М. Здесь я определю один из них, другой же буду рассматривать позднее.

(а) М(а, b) = (Sa, Vb)= (а, СЬЬ).

На базе (а) я получил матрицу М7 для М, которую преобразовал в матрицу М8 посредством тех же сокращений, что и в параграфе 46, а именно: (1,1) =/,

=2, (0,1) =3 и (0,0) =0. р м р м (П) (1,1) 1 1 (ГО) (1,1) 2 1 (0,1) (0,1) 3 3 (0,0) (0,1) 0 3 М7 М8

Получив, таким образом, матрицу для М, я выбираю С, N я М в качестве основных терминов и базирую свою систему модальной логики на следующих четырех аксиомах:

51. CbpCbNpbq4. СрМр *5. СМрр *7. Мр.

Правила вывода являются правилами подстановки и отделения для принимаемых и отбрасываемых выражений.

Lpвводится посредством 5-определения:

Это означает: «NMNp» может быть всюду заменено на «Lp»,и обратно, «Ьр» может быть всюду заменено на «NMNp».

Та же система модальной логики может быть создана употреблением С, Nи Lв качестве основных терминов с аксиомами:

CbpCbNpbq. 3. CLpp*6. CpLp*8. NLp,

и 8-определением М:

CbNLNpbMp.

М9 представляет собой вполне адекватную матрицу системы: с 1 2 3 0 N М L 1 1 2 3 0 0 [1 2 2 1 1 3 3 3 1 2, 3 1 2 1 2 2 3 0 0 1 1 1 1 1 3 0 М9

Я надеюсь, что после вышеприведенных разъяснений каждый читатель будет в состоянии верифицировать с помощью этой матрицы любую формулу, принадлежащую к системе, то есть доказать принимаемые формулы и опровергнуть отбрасываемые.

Я могу доказать, что система полна (complete) втом смысле, что любое принадлежащее ей осмысленное выражение разрешимо, будучи либо принимаемым, либо отбрасываемым.

Мне хотелось бы подчеркнуть, что аксиомы системы совершенно очевидны. Аксиома с 8 должна быть при-знана всеми логиками, которые принимают классиче-ское исчисление предложений; аксиомы с М также Должны быть приняты в качестве истинных; наконец, правила вывода также очевидны. Все правильно выве-денные следствия системы должны допускаться теми, кто принял аксиомы и правила вывода. Нельзя приду-мать ни одного серьезного возражения против этой системы. Мы увидим, что эта система опровергает все ложные выводы, полученные в связи с модальной логикой, объясняет трудности аристотелевской модальной силлогистики и открывает ряд неожиданных логических фактов, имеющих большое значение для философии.