§ 42. Аналитические предложения

Аристотель приводит предложение: «Человек необходимо есть живое существо» К Он констатирует здесь необходимую связь между субъектом «человек» и предикатом «живое существо», то есть необходимую связь между терминами.

Наиболее яркие примеры аналитических предложений— это те, в которых субъект тождествен предикату. Если необходимо, что всякий человек должен быть животным, то, a fortiori, необходимо, что всякий человек должен быть человеком. Закон тождества «Каждое а есть а» является аналитическим предложением, а следовательно, также и необходимым. Мы получаем, таким образом, формулу:

(р) LAaa,то есть Необходимо, что каждое а должно быть а.

Аристотель не формулирует закона тождества Ааа в качестве принципа своей ассерторической силлогистики;

Имеется только одно место, найденное Томасом (Ivo Thomas), где он использует этот закон в доказатель-стве . Мы не можем поэтому считать, что он знал модальное положение LAaa.

Аристотелевский закон тождества Ааа, где А означает «каждое — есть» и а есть переменный общий тер-мин, отличен от принципа тождества Jxx, где / означает «тождественно с» и х есть переменный индивидуальный термин. Последний принцип принадлежит к теории тождества, которая может быть основана на следующих аксиомах:

(q) Jxx,то есть х тождественно х,

(г) CJxyCyxyy,то есть Если х тождественно у, то если х удовлетворяет у, то и у удовлетворяет ф,

где ф является переменным, образующим предложение фунтором от одного индивидуального аргумента.

(s)LJxx, то есть Необходимо, что х должно быть тождественно х.

Куайном (W. V. Quine) было обнаружено, что принцип (^), если он принят, ведет к неудобным следствиям . Ибо если LJxxпринято, мы можем вывести (t)из (г) посредством подстановки

(t) CIxyCLJxxLJxy

и в силу коммутации

(и) CLJxxCJxyLJxy,

откуда следует предложение:

(v) CJxyLJxy.

Это означает, что любые два индивидуума необходимо тождественны, если они вообще тождественны.

Отношение равенства обычно трактуется математиками как тождество и основывается на тех же аксиомах: (#) и (г). Мы можем поэтому интерпретировать/ как равенство, х и у — как индивидуальные числа и сказать, что равенство имеет место в качестве необходимого, если оно вообще имеется.

Формула (и) очевидно ложна. Куайн приводит пример, показывающий ее ложность. Пусть х обозначает число планет, а у — число 9. Фактически верно, что число (больших) планет равно 9, однако вовсе не необходимо, чтобы оно равнялось 9. Куайн пытается преодолеть эту трудность, возражая против подстановки на место переменных таких единичных терминов. Однако, с моей точки зрения, его возражения неосновательны.

Имеется и другое неудобное следствие формулы (у), не упомянутое Куайном. Мы получаем из (и) с помощью определения Lи закона транспозиции следствие:

(w) CMNJxyNJxy.

Это означает: «Если возможно, что х не равно уу то х (действительно) не равно у». Ложность этого след-ствия можно усмотреть в следующем примере: предположим, что при бросании кости выпало число х. Возможно, что число уу выпавшее при следующем бросании кости, будет отлично от х. Но если возможно, что X будет отлично от у, то есть не равно у, то, согласно (w),х будет действительно отлично от у. Это заключение очевидно ложно, так как возможно выпадение одного и того же числа дважды.

С моей точки зрения, существует только один путь решения вышеупомянутых трудностей: мы не должны допускать, чтобы формула LJxxбыла принята, то есть чтобы принцип тождества 1хх считался необходимым. Так как Jxxесть типичное аналитическое предложение и так как нет основания трактовать этот принцип отлично от других аналитических предложений, то мы вынуждены принять, что ни одно аналитическое предложение не является необходимым.

Прежде чем рассматривать дальше этот важный вопрос, закончим сначала наше исследование аристотелевских понятий модальности.