§ 41. «Материальная» или «строгая» импликация?
Согласно Филону из Мегары, импликация «Если р, то q», то есть Cpq, истинна если и только если она не начинается с истинного антецедента, и кончается ложным консеквентом . Это и есть так называемая «материальная» импликация, ныне общепринятая в классическом исчислении предложений.
«Строгая» импликация: «Необходимо, что если р, то q»,то есть LCpq,является необходимой материальной импликацией и была введена в символическую логику Льюисом (С. I. Lewis). Посредством этой терминологии обсуждаемая нами проблема может быть поставлена следующим образом: должны ли мы интерпретировать антецендент аристотелевских законов экстенсиональности как материальную или же как строгую импликацию? Иными словами,Должны ли мы допустить более сильные формулы 18 и 19 (я называю это «сильной интерпретацией») или же мы должны отвергнуть их, приняв более слабые формулы 43 и 44 (слабая интерпретация)?
Аристотель, конечно, не осознавал различия между этими двумя интерпретациями и их важности для модальной логики. Он не мог знать определения материальной импликации, данного Филоном. Но комментатор Аристотеля, Александр, был очень хорошо знаком с логикой стоическо-мегарской школы и с горячими спо-рами о смысле импликации между последователями этой школы. Обратимся к комментариям Александра, касающимся нашей проблемы.
Комментируя аристотелевский отрывок «...если р необходимо должно быть, когда есть а, то необходимо, чтобы р было возможно, когда возможно а», Александр подчеркивает необходимый характер посылки «...р необходимо должно быть, когда есть а». Представляется, следовательно, что он принимает более слабую интерпретацию CLCapCMaMpи более слабый М-закон экстенсиональности CLCpqCMpMq.Но то, что он под-разумевает под необходимой импликацией, отличается от строгой импликации в смысле Льюиса. Он говорит, что в необходимой импликации консеквент должен всегда, то есть в любой момент, следовать из антецедента, так что предложение «Если Александр существует, то ему столько-то лет» не является истинной импликацией, даже если Александру в действительно-сти столько-то лет в тот момент, когда произносится это предложение b Мы можем сказать, что это предложение не точно выражено и нуждается в дополнительной временной квалификации, для того чтобы быть всегда истинным.
Истинная материальная импликация, конечно, должна быть всегда истинной, и если она содержит переменные, то должна быть истинной для всех значений переменных. Комментарий Александра несовместим со строгой интерпретацией, он не проливает света на нашу проблему.Проблема несколько более прояснится, если в доказательстве Александром М-закона экстенсиональности, изложенном в параграфе 40, мы заменим материальную импликацию Cpqстрогой импликацией LCpq. Преобразуя таким образом формулу
CMpCCpqNLNq, мы получаем:
CMpCLCpqNLNq.
Из формулы 31 мы можем легко вывести CMpNLNpпосредством подстановки р/р, получая CMpCCppNLNp, из которого наше предложение следует с помощью коммутации и отделения, так как Срр — принятая импликация. Та же самая процедура, однако, не может быть применена к формуле 45. Мы получаем CMpCLCppNLNp; но если хотим отделить CMpNLNp, мы должны принять аподиктическую импликацию LCpp.И здесь мы сталкиваемся с той же трудностью, что и описанная в предшествующем параграфе. Каково значение выражения LCpp? Это выражение может быть интерпретировано как общий закон, касающийся всех предложений, если мы преобразуем его в ЯрСрр; однако такое преобразование становится невозможным, если мы применим LCpp к конкретным терминам, например к предложению «дважды два пять». Ассерторическая импликация: «Если дважды два пять, то дважды два пять» понятна и истинна, будучи следствием закона тождества Срр; но каково значение аподиктической импликации: «Необходимо, что если дважды два пять, тогда дважды два должно быть пять»? Это странное выражение не является общим законом, касающимся всех чисел, оно может быть, самое большее, следствием некоторого аподиктического закона; однако неверно, что следствие аподиктического предложения также должно быть аподиктическим. Срр является следствием LCpp, согласно CLCppCpp, подстановке CLpp, но не аподиктическим.
Из вышеизложенного следует, что, конечно, проще интерпретировать доказательство Александра, истолко-вывая слово ou(xpatvst в его тексте скорее в смысле
Материальной, чем строгой, импликации. Тем не менее наша проблема все еще определенно не решена. Давайте поэтому обратимся к другому роду принимаемого аподиктического предложения, который допускается Аристотелем, то есть к необходимым связям терминов.