Интегральная теорема Коши для многосвязной области.
Пусть кусочно-гладкие контуры 
лежат внутри контура 
и вне друг друга.
- аналитическая функция в области между контурами и на самих этих контурах. Тогда 
.                    | Соединим контуры линиями AB, CD, EK. По интегральной теореме Коши интегралы по контуру AbpCDqEKmA и по контуру AnKEsDCrBA равны нулю. Представим эти интегралы как сумму интегралов по составляющим контуры дугам и сложим эти интегралы, сокращая интегралы по одним и тем же дугам в разных направлениях |
Складывая интегралы, получим
. Отсюда имеем
. Теорема доказана для случая n = 2. Для n > 2 доказательство аналогично.
Следствие 1. В условиях теоремы при n = 1 будет 
. Поэтому, если в какой-либо точке нарушается аналитичность функции, то интеграл может быть взят по любому кусочно-гладкому не самопересекающемуся контуру, охватывающему эту точку, мы получим один и тот же результат.
Следствие 2. Если кусочно-гладкий контур один раз охватывает некоторую точку, 
.а контур L n раз охватывает эту точку, то в условиях теоремы 
. Докажите это самостоятельно.