2.1. Фракталы

Данте

Фракталами обычно называют объекты, дробящиеся самоподобным образом. Таковы, например, реки с их многочисленными притоками, малыми речушками и ручьями, а также извилистая береговая линия морей, поверхность облаков, горы.

нием, мы не увидим все ту же линию с незакрашенными участками исходного квадрата? Вот Вам еще одна загадка «Черного квадрата» К. Малевича.

Рис. 2.1. Продолжая очень долго изломанную линию (а) в ограниченных пределах квадрата, со временем перестаем отличать ее от закрашенной поверхности этого квадрата (б)

Что же в таком случае избрать мерилом рассматриваемых объектов и как убедиться в том, что элементы их структуры действительно обладают свойством самоподобия? Строгое определение фрактала, данное американским математиком Б.

Фракталами называются объекты, у которых топологическая размерность меньше хаусдорфовой.

Дадим необходимые пояснения. В геометрии под размерностью множества понимается минимальное число координат, необходимое для задания в этом множестве положения материальной точки. Для точки это 0, для линии - 1 , для поверхности - 2, для объемного тела - 3. Топология изучает объекты, свойства которых не изменяются при деформациях, производимых без разрывов и склеиваний. Топологическая размерность множества dT - это геометрическая размерность, на единицу превышающая размерность разреза, делящего это множество на две несвязные части, причем топологическая размерность точки полагается равной нулю. Тогда для линии снова получаем dT = 1, для поверхности dT = 2 и т.д. В любом случае это целое число.

Рис. 2.2. К определению хаусдорфовой размерности множества

Теперь представим себе множество элементов некой структуры (рис. 2.2), состоящей, например, из определенным образом расположенных точек. Разобьем это множество на одинаковые ячейки с линейным размером г и подсчитаем количество ячеек, содержащих хотя бы один элемент множества.

Хаусдорфовой размерностью множества (по имени нем. математика Ф. Хаус- дорфа) называется предел отношения логарифма числа ячеек разбиения этого множества, содержащих хотя бы один его элемент, к логарифму величины, обратной линейному размеру ячейки, при его стремлении к нулю:

dH = lim^T). (2.1)

H r^0ln(1 / r)

Это означает, что для проверки фрактальности какого-либо объекта его нужно разбить на ячейки в пространстве большей размерности, подсчитать указанное отношение, затем разбить на более мелкие ячейки, снова подсчитать это отношение и т.д. Если у полученной последовательности чисел существует предел, то он и будет хаусдорфо- вой размерностью dH данного объекта.

Проиллюстрируем применение этой методики на примере известной из математики кривой Коха (рис. 2.3). Она получается в результате последовательного построения треугольного зубца на исходном отрезке единичной длины и возникающих при этом отрезках втрое меньшего размера.

п = 1

п =2

Рис. 2.3. Три последовательных шага построения кривой Коха

Легко видеть, что длина образующихся на n-м шаге отрезков (размер ячейки) rn = 1/3n. Число элементов структуры - точек перелома (именно они образуют кривую Коха) N(rn) = 4n. Хаусдорфова размерность объекта dH = ln4/ln3 ~ 1,26, а его топологическая размерность dH = 1, т.е. условие dT < dH выполнено.

Часто для проверки фрактальности того или иного объекта бывает удобнее пользоваться не определением Мандельброта и формулой (2.1), а просто вычислить его так называемую размерность самоподобия:

ln n

(2.2)

Здесь N - число, показывающее, во сколько раз увеличивается количество одинаковых элементов структуры при переходе к следующему шагу дробления, а n - число, показывающее, во сколько раз при этом уменьшается линейный масштаб этих элементов. Так, для объектов, изображенных на рис. 2.4, получаем: для отрезка D = 1; для квадрата D = 2, для куба D = 3.

л.

?

ЕВ 0

і / А

I

I.

Рис.

Рассмотрим теперь ковер Серпинского (рис.2.5), названный так в честь польского математика В. Серпинского (1882 - 1969).

А А

А, /Л Ж Ж УЧЛА ДА ДА

Рис.2.5. Последовательные шаги построения ковра Серпинского

Применение формулы (2.2) в этом случае даёт D = ln3 / ln2 ~ ~ 1,58. Для кривой Коха размерность самоподобия совпадает с хаус- дорфовой размерностью:

D = dH = ln 4/ln 3.

Так вот, фрактальными являются не любые самоподобно дробящиеся объекты, а только такие, у которых размерность самоподобия является дробной величиной. В частности, объекты, изображенные на

32

рис. 2.4. не являются фракталами. Размерность фрактала всегда принимает промежуточное значение между топологическими размерностями тех объектов, от которых он удаляется и к которым приближается.