2.2. Фрактальный характер пропорций Золотого Сечения

{Fn}: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... (2.3)

Легко видеть, что каждый член этой последовательности равен сумме двух предыдущих членов:

Fn = Fn-2 + Fn-1. (2.4)

Оказалось, что числа Фибоначчи тесно связаны с известным еще пифагорейцам Золотым Сечением Ф = 1/2(1 + 45) 1,618.

Действительно, если рассмотреть последовательность цепных дробей следующего вида:

Ф о = J,

Т 1 2

Ф, = 1 + - = —, 1 11

т 1 3

Ф 2 = 1 + Т = - ,

2 1 2

1+

1

Т 1 5

Ф 3 = 1 + = -

3 1 2

1 +

1+1

1

! 1 8

Ф 4 =1+ —=5

1+

1

1+

1

1+-

ф = 1+

1+

1

1+

1 + 1

1+1

то ясно, что в бесконечной цепной дроби Ф, в силу бесконечного чис-ла ее звеньев, часть, находящаяся под самой большой дробной чертой, также равна Ф.

Ф = 1 + — Ф

или

Ф2-ф-1 = 0.

Положительный корень этого квадратного уравнения как раз и равен указанному выше Золотому Сечению. Обращая теперь внимание на правые части подходящих к Ф конечных цепных дробей, видим, что

F

Ф = lim-^1, (2.5)

nF

n

т.е. Золотое Сечение является пределом отношения соседних чисел Фибоначчи (большего к меньшему) при стремлении к бесконечности их номера.

Представим эти отношения в виде сечения отрезка единичной длины (рис. 2.6). Образующаяся совокупность точек при n приближается к точке Золотого Сечения и представляет из себя нерегулярный фрактал. Однако и здесь легко убедиться в самоподобии структуры, если рассматривать ее в увеличенном виде. Найдем по формуле (2.1) хаусдорфову размерность этого множества. Длина ячейки разбиения на n-м шаге rn = 1/ Fn+3. Число заполненных ячеек N(rn) = Лх/rn, где Ах = 1/6. Тогда

ln 6

(2.6)

1

V ln Fn+3 J

dn=limln( Fn+3/6)=lim '

n^» ln F ^ n^»

n+3

Рис. 2.6. Последовательные приближения к Золотому Сечению из отношений чисел Фибоначчи образуют фрактальную систему точек в интервале от 1/2 до 2/3 единичного отрезка

Как следует из (2.6), при больших номерах n чисел Фибоначчи (2.2) 0 < dn < 1. В соответствии с критерием Мандельброта, представленная на рис. 2.6 система точек (dT = 0) является фракталом. Следовательно, приближающиеся, согласно (2.5), к Золотому Сечению отношения чисел Фибоначчи - пропорции Золотого Сечения - образуют последовательность фрактального типа.