3.1 Кортеж

ПустьАи В — произвольные множества. Упорядоченная пара на множествахА и В, обозначаемая записью , определяется не только самими элементами аА и bВ, но и порядком, в котором они записаны.

Две упорядоченные пары и на множествахАи В называют равными, если а = c и b = d.

Упорядоченную пару не следует связывать с множеством {а, b}, так как упорядоченная пара характеризуется не только составом, но и порядком элементов в ней. Более того, определение этого объекта вообще не позволяет рассматривать его как множество. Но упорядоченную пару можно определить и как множество, полагая, что упорядоченная пара есть неупорядоченная пара {{а}, {а, b}}, включающая в себя одноэлементное множество {а} и неупорядоченную пару {а, b}. При а = b получаем = {{а}}. Такое определение не изменит сути понятия, но тогда следует не определять явно равенство упорядоченных пар, а доказывать теорему о равенстве упорядоченных пар как определенного вида множеств.

Обобщением понятия упорядоченной пары является упорядоченный n-набор, или кортеж. В отличие от конечного множества {a1,...,an} кортеж на множествах А1, ..., Аnхарактеризуется не только входящими в него элементами a1А1, ..., аnАn, но и порядком, в котором они перечисляются.

Два кортежа α=и β=на множествах А1, ..., Аnравны, если ai=bi, i=.

Число n называется длиной кортежа (или размерностью кортежа), а элемент аi — i-й проекцией (компонентой) кортежа. Для двух кортежей одинаковой размерности их компоненты с одинаковыми номерами называют одноименными компонентами. Определение равенства кортежей можно переформулировать так: два кортежа одинаковой размерности равны тогда и только тогда, когда их одноименные компоненты совпадают. В отличие от множества, кортеж может иметь повторяющиеся элементы, но все эти элементы различны. Компоненты кортежа могут обозначать любые понятия, объекты, в том числе элементы множества или кортежа.

Простейшим примером кортежа является арифметический вектор.

Кортеж, который не содержит компонентов в своем составе, называется пустым кортежем и обозначается α=. Длина этого кортежа равна нулю.

Для любых кортежей α, β, γ справедливы утверждения:

· Если α=β, то β=α

· Если α=β и β = γ, то α= γ