3.2 Операция проекции
Операция проектирования унарна. Она применима не к двум множествам, а к одному. Кроме этого, операция проектирования применима только к множеству кортежей одинаковой длины. Проекция множеств определяется через проекцию кортежей.
Определим понятие проекции кортежей.
Пусть задан кортеж α = длины s.
1) Пусть 1 ≤i≤s. Тогда проекцией кортежа αна i-тую ось называется i-тая компонента кортежа α.
2) Пусть задано произвольное число q, такое, что 2 ≤q≤s. И пусть задано число осей 1≤i1≤i2≤...≤iq≤s. Тогда проекцией кортежа αна оси с номерами i1,i2,...,iq называется кортеж , который обозначается следующим образом: прi1, i2,…,iqα = < аi1, аi2, …, аiq>.
3) Проекцией кортежаа на пустое множество осей называется пустой кортеж. Аналогично проекцией пустого кортежа на пустое множество осей называется пустой кортеж.
Пример. Пусть задан кортеж α= < 12, 15, 6, 8 >, прi1 α= , прi2 α= , прi3 α= , прi4 α= , прi1,i2 α= , прi1,i4 α= , прi5,i8 α= .
Определим понятие проекции множества. Как отмечено это понятие будет определено только для случая, когда проектируемое множество состоит из кортежей, причем все кортежи имеют одинаковую длину.
Проекция множества М — это множество проекций кортежей из М.
Пусть задано множество кортежей М длины s, s> 0.
1) Пусть 1 ≤i≤s, тогда проекцией множества М на i-тую ось называется множество проекций кортежей из М на i-тую ось и обозначается: прiM.
2) Пусть задано произвольное число q, такое, что 2 ≤q≤s, и задано число осей 1≤i1≤i2≤...≤iq≤s. Тогда проекцией множества М на оси с номерами i1,i2,...,iq называется множество проекций кортежей из М на оси с номерами i1,i2,...,iq.
3) Проекцией множества М на пустое множество осей называется множество проекций кортежей из М на пустое множество: прOМ.
Пример. Пусть М = { < 1, 2, 3, 4, 5 >, < 2, 1, 3, 5, 5 >, < 3, 3, 3, 3, 3>}.Тогда пр2М = { 2, 1,3, 2, b }, пр2,4М = { , , , , }, пр67М = O.
Пусть М — произвольное множество, длина которого s, s≥2. Тогда множество Ms состоит из кортежей длины s и значит, его можно проектировать. Операция проектирования множества основана на описанных правилах построения проекций кортежей и множеств. Для любого натурального числа 1 ≤i≤sпроекция пpiMs= М.
Согласно определению операции проектирования, можно сказать, что для произвольного кортежа истинны следующие высказывания:
А
xпр1A &yпр2A,
х
пр1A 
yпр2A А.
Приведем основные свойства операции проектирования:
Пусть A
X?Y, BX?Y, тогда для любых xX и уY (
xX &yY) 
· 
· 
· 
· 
· 
· 
· 
В то же время в общем случае ложными являются следующие высказывания:
· 
· 
· 
· 
Некоторые из перечисленных высказываний следуют из определения прямого произведения.
Для доказательства других свойств необходимо использовать методы доказательств тождеств с множествами.Рассмотрим операции над кортежами: инверсия и композиция.
1) Инверсия.
Инверсия кортежа определяется следующим образом. Пара называется инверсией пары ,если c=b&d=a. Инверсия пары α обозначается α-1
Пример.α = ,тогда α -1= . (α -1)-1= α, ((α -1)-1)-1= α-1. Тогда α-n= α и α-(n-1)=α-1, при четном n.
2) Композиция.
Кортеж α= называется композицией двух кортежей β = и γ = и записывается α = β·γ. Операция композиции справедлива, когда вторая компонента кортежа βсовпадает с первой компонентой кортежа γ. Здесь как бы происходит "склеивание" двух кортежей по компоненте z.