4.4. Передаточные функции и уравнения замкнутой системы

Рассмотрим обобщенную структурную схему замкнутой системы, представленную на рис.4.17.

Рис.4.17. Структурная схема замкнутой системы

Где – передаточная функция разомкнутой цепи, в общем случае сложная функция, полученная путем преобразования, – коэффициент усиления разомкнутой части системы, – внешнее задающее воздействие, – возмущающее внешнее воздействие, как правило, не одно и – сигнал ошибки.

Отрицательная обратная связь между выходом и входом, называется главной ООС. Передаточные функции замкнутой системы записывается отдельно для каждой комбинации входа и выхода, то есть для каждой пары .

Возмущающее воздействие может быть приложено в любой точке схемы. Если при помощи правила 2 структурных преобразований (см. подпункт 4.2.) перенести возмущающее воздействие к выходу системы, то структурная схема примет вид, показанный на рис.4.18.

Рис.4.18. Преобразованная структурная схема замкнутой системы

Динамическое звено с передаточной функцией на самом деле не существует, а представляет собой какую-то часть передаточной функции разомкнутой части системы .

Проделав операцию переноса точки приложения сигнала возмущения

, мы тем самым разделили каналы прохождения сигналов

. Для задающего воздействия

схема прохождения сигналов сохраняется в полном виде

На выходе имеем условно , хотя на самом деле входит в общую схему как часть .

Основные соотношения, описывающие динамику системы, в изображениях по Лапласу будут иметь вид

, (4.6)

. (4.7)

В расчетах автоматических систем применяют три основных вида передаточных функций замкнутой системы.

1. Главная передаточная функция замкнутой системы, которая определяется при условии

С учетом выражений (4.6) и (4.7) имеем

Откуда (4.8)

2. Передаточная функция замкнутой системы для ошибки по задающему воздействию (при ), согласно выражения (4.6) имеет вид , (4.9)

или с учетом (4.8)

(4.10)

3. Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию определяется при условии равенства нулю задающего воздействия

Из формул (4.6), (4.6), при выполнении условия , следует

откуда

. (4.11)

4. Передаточная функция для ошибки по возмущающему воздействию будет той же, что и для регулируемой величины , но с обратным знаком

. (4.12)

Важно отметить, что знаменатель всех видов передаточных функции замкнутой системы один и тот же.

Для замкнутой системы в целом, зная передаточные функции, можно перейти к дифференциальному уравнению, представленному в изображениях по Лапласу

Следовательно, дифференциальное уравнение замкнутой системы имеет вид

. (4.13)

Итак, зная передаточную функцию звеньев системы, можно исключительно алгебраическим путем определить общее дифференциальное уравнение всей замкнутой системы в целом при любой её сложности. Это является одним из основных преимуществ использования аппарата передаточных функций.

Характеристический полином замкнутой системы имеет вид

Прядок дифференциального уравнения замкнутой системы (4.13), как и разомкнутой цепи, определяется степенью полинома , но коэффициенты существенно отличаются за счет прибавления многочлена .

Поэтому все динамические и частотные свойства замкнутой САУ будут отличаться от динамических и частотных свойств разомкнутой цепи, состоящей из тех же звеньев.

В классической форме записи дифференциальное уравнение (4.13), описывающее динамику САУ, можно представить в виде

. (4.14)

На основе передаточной функции по ошибке от задающего воздействия (4.10) и возмущающего воздействия (4.12) можно выразить ошибку, вернее изображение ошибки, в виде

Следовательно, дифференциальное уравнение для ошибки в изображениях по Лапласу имеет вид

. (4.15)

Левая часть дифференциального уравнения, или характеристическое уравнение для ошибки САУ, точно такое же, что и для задающего воздействия. А вот правая часть меняется существенно перед задающим воздействием , хотя перед возмущающим воздействием изменился только знак.

Физический смысл рассмотренной динамической модели (4.15) таков: все изменения регулируемой величины под влиянием возмущающего воздействия сказываются целиком на ошибке системы.

Пример вывода различных передаточных функций и дифференциальных уравнений для САУ первого порядка. На рис.4.19. приведены структурная схема САУ и преобразованная структурная схема САУ, в которой осуществлен перенос точки возмущающего воздействия с входа системы на выход.

Рис.4.19. Структурная схема САУ

Главная передаточная функция САУ имеет вид

Передаточная функция замкнутой системы для ошибки по задающему воздействию

Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию определяется при условии равенства нулю задающего воздействия и равна

Передаточная функция для ошибки по возмущающему воздействию будет той же, что передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию , но с обратным знаком