2.2 Линеаризация уравнения звена

В общем случае динамика отдельного звена САУ, или даже всей системы управления описывается нелинейными дифференциальными уравнениями

,

где – гадкая, непрерывная, дифференцируемая необходимое число раз функция.

Если для исследования процесса управления можно использовать линейное дифференциальное уравнение, то нелинейное уравнение необходимо линеаризовать.

Линеаризацию производят с помощью формулы Тейлора, раскладывая нелинейную функцию одной или нескольких переменных по степеням малых приращений, которые берутся в окрестностях их установившегося режима. Формула Тейлора содержит остаточный член, исследование которого позволяет оценить величину ошибки, при учете только первых членов разложения. Формула Тейлора, например, только для двух переменных и имеет вид

Здесь ; ; ; – остаточный член. Показатели степени указывают на необходимость возведения выражения в скобках в соответствующую степень, например

.

Частные производные в этом случае вычисляют в точке установившегося режима с координатами .

При линеаризации нелинейных уравнений обычно ограничиваются лишь членами первого порядка малости, пренебрегая остаточным членом . Тогда .