Лекция № 8. Синтез нечетких регуляторов

Как уже отмечалось, выбор функций принадлежности во многом остается предметом интуиции и опыта разработчика.

Существуют стандартные формы задания функций принадлежности (рис. 3.5): треугольная (а), трапецеидальная (б), S - типа, или функция "фильтра" (в), Z - типа (г), колоколообразная (д).

Для того, чтобы выбрать, например, функцию принадлежности, приведенную на рис. 3.5, а, достаточно задать 2 ее параметра – центральную точку ("прототип" соответствующего нечеткого множества) и ширину перехода от принадлежности этому множеству к непринадлежности ему (т.е., по существу, меру "нечеткости" значения . И хотя зачастую это бывает непросто сделать (существует даже специальное понятие "сверхнечеткие множества" - "ultrafuzzy sets", когда положение самой функции принадлежности является нечетким и ее границы определяются с помощью дополнительно вводимых лингвистических переменных), опытный эксперт так или иначе всегда может выбрать искомые параметры в соответствии со своими представлениями о решаемой задаче.

Рис. 3.5. Стандартные формы функций принадлежности

Для рассматриваемого здесь примера синтеза нечеткого регулятора можно принять следующую форму функций принадлежности (рис. 3.6).

По оси абсцисс в данном случае откладываются нормализованные значения переменных , , , полученные путем деления , и на соответствующие максимальные значения , , .

Рис. 3.6. Функции принадлежности лингвистических переменных

В качестве механизма вывода обычно используется метод Максимума - Минимума или метод Максимума - Произведения. В общем случае первый из этих методов осуществляет переход от условных лингвистических правил вида:

", " (3.2)

к функции принадлежности переменной z i-му подмножеству) :

(3.3)

Если используется набор из n нечетких правил, то результирующая функция принадлежности выхода находится путем объединения n нечетких подмножеств :

(3.4)

По форме полученной функции принадлежности выхода при этом можно оценить качество сформулированных правил управления. Так, функция принадлежности вида 1 (рис. 3.7) указывает на наличие одного доминирующего правила управления. Функция принадлежности 2 указывает, что имеются, по крайней мере, два противоречивых правила.

Функция принадлежности 3 указывает, что не имеется подходящих правил для вычисления управления (т.е. недостает каких-то правил).

Рис. 3.7. Оценка качества правил управления

Для дефаззификации чаще всего используется метод центра тяжести (см. выражение (2.21)). Однако, вычисляя положение центра тяжести для полученного графика функции принадлежности следует учитывать факт пересечения носителей нечетких подмножеств .

Процедура дефаззификации существенно упрощается, если значения выходной лингвистической переменной заданы с помощью нескольких одноточечных нечетких подмножеств (singletons), например, как это сделано на рис. 3.8, а.

Допустим, что полученная на основе механизма вывода функция принадлежности принимает вид (рис. 3.8, б), где высоты отдельных подмножеств (линий) определяются уровнями активизации соответствующих правил управления (уровнями выполнения условий "ЕСЛИ" этих правил). Тогда вычисление координаты центра тяжести производится по формуле (сравните с (2.22)).

где - функции принадлежности одному из одноточечных нечетких подмножеств (т.е. LN, SN, Z, SP.XP); - числа носители этих подмножеств. Для рассматриваемого на рис, 3.8, б случая имеем

.

Рис. 3.8. Процедура дефаззификации для одноточечных нечетких подмножеств

Эксперименты показывают, что полученные нечеткие системы, даже при сделанных выше упрощениях, являются робастными (т.е. мало чувствительными к различного рода возмущениям) и что эти упрощения не оказывают существенного влияния на качество результатов.