4.1.1. Нечеткий регулятор для управления неустойчивым объектом
Проблеме управления перевернутым маятником (inverted pendulum) посвящено большое число работ [12,17,26 и др.]. Результаты этих исследований часто используются в качестве методических примеров, когда требуется показать возможность управления неустойчивым объектом с помощью методов техники регулирования.
Конструктивно объект управления выглядит следующим образом (рис. 4.1).
К тележке, масса которой равна М, прикреплен с помощью вращательного шарнира длинный стержень, имеющий массу 
и длину 
. Получим уравнения движения объекта - отдельно для стержня и для тележки.
Рис. 4.1. Конструкция перевернутого маятника
Прежде всего вычислим вращающие моменты, приложенные к стержню относительно точки О его крепления к шарниру и вызванные действием силы тяжести стержня
,
а также внешней силы 
, приводящей в движение тележку,
.
Тогда, учитывая, что момент инерции стержня относительно точки О равен 
, можно записать условие равновесия моментов, приложенных к стержню:
. (4.1)
Аналогично найдем проекции на ось 
сил, действующих на систему "тележка - стержень":
- тангенциальная сила, возникающая при вращении стержня;
- радиальная сила для вращающего стержня;
- сила трения;
- сила, развиваемая со стороны двигателя
Тогда условие равновесия указанных сил принимает вид:
(4.2)
Будем полагать, что цель управления заключается в балансировании стержня, т.е.
поддерживании его в примерно вертикальном положении
за счет изменения силы . При решении этой задачи классическими методами обычно делают много упрощений (пренебрегают силой трения, массой стержня по сравнению с массой тележки, ошибками измерения и т.д.). Сделанные упрощения в предположении о малости возмущений, отклоняющих стержень от вертикали (т.е. положения его неустойчивого равновесия), дозволяют получить линеаризованные уравнения движения
; 
. (4.3)
Вместе с тем синтезированный на основе математической модели (4.3) алгоритм управления является чересчур идеализированным и имеет малую практическую ценность. Приведем по этому поводу следующее весьма характерное высказывание [17]: "Как только математические методы начинают применяться к реальности, они сразу перестают быть точными. Следовательно, точные методы не имеют непосредственного отношения к реальному миру".
При решении сформулированной задачи с помощью методов нечеткой логики вовсе не требуется количественного знания поведения системы, достаточно иметь качественное описание ее поведения на основе лингвистических выражений (правил). Это аналогично тому, как человек может балансировать с шестом в руке, не зная соответствующей математической модели системы. Это происходит обычно бессознательно, путем использования правил типа: "Если шест наклоняется вправо, то я должен двигать руку также слегка вправо", и т.п.
Применительно к данной задаче требуется ввести в базу правил 4 лингвистические переменные [26]: "Угловая ошибка" 
, "Скорость вращения" W, "Ошибка по положению" 
и "Сила" F.
и F вводятся по 7 значений (термов): NL - "отрицательное большое"; NM -"отрицательное среднее"; NS - "отрицательное малое"; Z - "нулевое (нормальное)"; PS - "положительное малое"; РМ - "положительное среднее"; PL - "положительное большое", а для переменных W и - по 5 значений: NM, NS, Z, PS и РМ. При этом база правил определяется с помощью 19 отдельных правил (табл. 4.1). Базу правил можно также представить с помощью матричного описания - в виде табл. 4.2.
Значения переменной F в зависимости от уровня ошибки по положению приведены здесь отдельной строкой.
Функции принадлежности для соответствующих лингвистических переменных , W, и F показаны на рис. 4.2. Как видно, особенно большое значение уделяется изменению переменных "Угловая ошибка" и "Сила" в окрестности нуля, поскольку даже незначительные изменения наклона стержня оказывают большое влияние на устойчивость его положения. Рассматривался следующий диапазон изменения переменных: Угол =
(м); Угловая скорость =
(рад/с). Для дефаззификации использовался метод центра тяжести. Результаты моделирования на ЭВМ и испытаний специально созданной для этих целей лабораторной установки, управляемой с помощью компьютера, подтвердили высокую работоспособность предложенных алгоритмов в широком диапазоне изменения переменных. Как показали эти исследования, решающее влияние на поведение системы при этом оказывает выбор правил управления. В то же время, малые вариации нечетких множеств оказывают малое влияние на показатели качества системы.
Рис. 4.2. Функции принадлежности лингвистических переменных