5.2. Корневой метод исследования устойчивости

Устойчивость САУ – одно из важнейших условий ее работоспособности, так как требование устойчивости включает в себя требование затухания переходного процесса во времени. Очевидно, что система с расходящимся процессом была бы неработоспособной.

Рассмотрим комплексную плоскость распределения корней характеристического полинома замкнутой системы управления (см. подпункт 4.4.), изображенную на рис.5.2.

Рис.5.2. Комплексная плоскость распределения корней полинома

Под устойчивостью линейной системы понимают свойство затухания переходного процесса с течением времени, то есть

при . (5.2)

1. Свойство устойчивости (5.2) имеет место тогда, когда все корни характеристического полинома обладают отрицательными вещественными частями . Это иллюстрируется графиками на рис.5.3.

Рис.5.3. Примеры графиков устойчивых переходных процессов

2. Если хотя бы один из вещественных корней, или если хотя бы одна пара комплексных корней будет иметь положительную вещественную часть, то переходной процесс будет расходящийся, как показано на рис.5.4.

Рис.5.4. Примеры графиков неустойчивых переходных процессов

3. Если в характеристическом полиноме замкнутой системы содержится хотя бы один корень равный нулю , или хотя бы одна пара чисто мнимых корней , а все остальные корни меньше нуля , то САУ находится на границе устойчивости.

Условие устойчивости, следовательно, заключается в том, что все корни характеристического полинома должны располагаться в левой полуплоскости комплексного переменного, а мнимая ось плоскости корней служит границей устойчивости.