5.4.1. Критерий устойчивости Михайлова

Рассмотрим характеристический полином замкнутой системы -порядка (5.3) с положительными коэффициентами (необходимое условие устойчивости).

, (5.7)

где

(5.8)

Изобразим годографы этого выражения на комплексной плоскости .

Рис.5.7. Годографы Михайлова

Анализируя годографы, можно сделать следующие выводы.

§ При имеем, ,,

§ При будет или , или .

Знаки или зависят от показателя степени . Из формулы (5.8), где все , видно, что при для будет и , а для получим и и.т.д.

Формулировка критерия устойчивости Михайлова.

Для устойчивости линейной системы -порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента функции при изменении частоты равнялось бы , то есть

при . (5.9)

Другими словами, требуется, чтобы кривая Михайлова проходила последовательно -квандрантов против часовой стрелки (окружая начало координат).

Кривые на рис.5.7. соответствуют устойчивым системам, а на рис.5.8. приведен пример годографа Михайлова, соответствующий неустойчивой системе пятого порядка.

Рис.5.8. Годограф Михайлова,

соответствующий неустойчивой системе пятого порядка

Критерий Михайлова приведен без доказательства.

Рассмотрим пример определения границ устойчивости системы по критерию Михайлова. Пусть как в предыдущем примере подразд.5.3. характеристический полином имеет вид

.

Тогда, выполнив замену в , получим . Действительная и мнимая части имеют вид

Отсюда для границы устойчивости согласно выражению

(5.10)

имеем

Из второго уравнения получим два значения

и .

Тогда из первого уравнения находим соответственно

и .

Для бесконечно удаленного корня получим .

Эти результаты совпадают с тем, что было сделано в примере по критерию Гурвица, где были изображены и области устойчивости, которые получаются такими же (см.рис.5.5, 5.6.) и по критерию Михайлова.

Достоинством критерия Михайлова является то, что он проще и нагляднее в применении, особенно, если удастся снять экспериментальные кривые замкнутой системы.

Лекция 9 5.4.2. Критерий устойчивости Найквиста

Частотный критерий устойчивости Найквиста базируется на использовании частотных характеристик разомкнутой части САУ, и даёт привило, согласно которому, по виду АФЧХ разомкнутой части системы можно судить об устойчивости замкнутой системы.

Рассмотрим разные случаи.

1. Система устойчива в разомкнутом состоянии, её передаточная функция имеет вид

,

система не обладает свойствами астатизма. Введем вспомогательную функцию

,

где – характеристический полином замкнутой системы, а – характеристический полином разомкнутой части. Чтобы получить АФЧХ подставим , то есть .

По критерию Михайлова изменение аргумента при равно , так как предполагается, что разомкнутая часть устойчива.

.

Это значит, что годограф не должен охватывать начало координат, как показано на рис.5.9.

Рис.5.9. Годографы Михайлова

Вернемся к рассмотрению функции – АФЧХ разомкнутой части системы, имеющей вид

.

Соответствующие годографы показаны на рис.5.10.

Рис.5.10.Годографы Найквиста для устойчивых САУ

Отсюда следует формулировка частотного критерия Найквиста.

Если разомкнутая часть системы устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно – фазовая частотная характеристика разомкнутой части системы не охватывала точку с координатами.

Имея в виду довольно сложное очертание АФЧХ, к рассмотренной формулировке критерия Найквиста добавляют разъяснение, что понимать под термином «не охватывает точку с координатами». Характеристика может пересекать отрицательную ось левее точки , но тогда число положительных (сверху вниз) переходов характеристики через ось абсцисс левее точки должно равняться числу отрицательных (снизу вверх) переходов.

первый график на рис.5.10 соответствует случаю, когда и при уменьшении и при увеличении система может стать неустойчивой. Второй график – случаю, когда устойчивость системы нарушается только с увеличением общего коэффициента усиления разомкнутой части системы .

Неустойчивость замкнутой системы иллюстрируется на рис.5.11.

Рис.5.11.Годографы Найквиста для неустойчивых систем

2. Система, нейтральная в разомкнутом состоянии. Характеристический полином разомкнутой части системы имеет нулевые корни, а остальные корни имеют отрицательные вещественные части. Передаточная функция разомкнутой части системы имеет соответственно нулевые полюса

.

Это соответствует астатическим системам, причем порядок астатизма.

Рассмотрим случай, когда порядок астатизма , то

.

Плоскость корней имеет вид, примерно такой, как показано на рис.5.12.

Рис.5.12. Плоскость корней

Подстановка при означает перемещение вдоль оси от точки вверх.

, .

Тогда при получим

, ,

где – большая величина, при . Следовательно, точке плоскости корней соответствует на характеристике четверть окружности бесконечного радиуса, как показано на рис.5.13.

Рис.5.13. Дополнение годографа окружностью

бесконечного радиуса

Поскольку при этом все корни остаются слева, то формулировка критерия качества остается такой же, как и для случая устойчивой разомкнутой части системы, а именно: годограф не должен охватывать точку с координатами .

В случае , и аналогично получаем ту же формулировку критерия – неохват точки , как показано на рисунке 5.14. для устойчивых астатических систем.

Рис.5.14. Примеры годографов Найквиста

Во всех остальных случаях замкнутая система будет неустойчивой.

3. Система неустойчива в разомкнутом состоянии. Пусть характеристический полином разомкнутой части системы имеет корней с положительной вещественной частью. Тогда вспомогательная функция при замене , согласно критерию Михайлова для устойчивости замкнутой системы, должна иметь следующее изменение аргумента при :

.

Это значит, что для устойчивости замкнутой системы автоматического регулирования необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов частотного годографа через отрицательную полуось на участке от до была равна , где – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы , лежащих в правой полуплоскости (т.е. положительных).

Например, если передаточная функция разомкнутой системы

,

имеет (один положительный полюс), то для устойчивости замкнутой системы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой части системы должна иметь вид, примерно как показано на рис.5.15, a) или b), а в случае на рис.5.15, c).

рис.5.15. Годографы устойчивых САУ

При этом начальная точка характеристики, начинающаяся на оси абсцисс левее , считается как половина перехода.