Влияние формы колебаний на энергетические оценки
Чтобы показать влияние формы колебаний на расчетные значения относительных деформаций и прогибов конструкции, проведен анализ упругого и пластического изгиба шарнирно опертых балок под действием одинаковой взрывной нагрузки.
Поскольку использован уже излагавшийся энергетический метод, подробности решений опущены, а результаты представлены в табличной форме. Расчет характеристик упруго деформируемой системы проведен для трех различных форм колебаний: параболической, синусоидальной и формы статической упругой линии, которая отвечает действию равномерно распределенной нагрузки. При всех формах колебаний получены одинаковые функциональные зависимости для потенциальной энергии деформации U, максимального прогиба W0 и максимальной относительной деформации ет, отличающиеся только численными коэффициентами (табл. 4.1). Результаты представлены в безразмерном виде, поэтому влияние формы колебаний можно проследить, просто сравнивая эти коэффициенты. Как видно из таблицы, отличие мало и, как правило, проявляется во втором знаке. Таким образом, в пределах нескольких процентов разброса приближенное решение не зависит от принятой формы колебаний, удовлетворяющей соответствующим граничным условиям. Этот результат очень важен для инженерных расчетов. Невозможность точного измерения приложенных нагрузок и естественный разброс величины деформации (см. рис. 4.8) делают этот результат физически оправданным и свидетельствуют о том, что выбор формы колебаний не очень существен. При сопоставлении значений максимальных прогибовТаблица 4.1. Плоский изгиб упруго деформируемой,
шарнирно опертой балки в режиме импульсного
приложения нагрузки
и относительных деформаций, полученных на основе приближенного решения для упруго деформируемой, шарнирно опертой балки, со значениями, полученными из «точного» решения Бернулли— Эйлера дифференцированием формулы прогиба, оказалось, что парабола является «точным» решением для импульсного приложения нагрузки, а уравнение статической упругой линии — «точным» решением для квазистатического нагружения.
Для упруго деформируемой консольной балки уравнение статической упругой линии также является «точным» решением в режиме квазистатического приложения нагрузки, а парабола дает «точное» решение в режиме импульсного нагружения. Таким образом, при плоском изгибе балок в режиме импульсного приложения нагрузки кривая, форму которой принимает ось балки, имеет почти постоянную кривизну. βЧтобы установить влияние принятой формы колебаний на значения максимальных прогибов и относительных деформаций при плоском изгибе шарнирно опертой балки, деформируемой
по схеме жесткопластического тела, проведен анализ для различных форм колебаний при одинаковой взрывной нагрузке. К^формам колебаний, использованным при исследовании упругой деформации, добавлено еще одно уравнение. В качестве четвертой формы колебаний принято уравнение статического прогиба балки с пластическим шарниром в. середине пролета и
Таблица 4.2. Плоский изгиб пластически .деформируемой, шарнирно опертой » балки в режиме импульсного приложения нагрузки
двумя жесткими участками. Это уравнение прогиба часто используется в строительной механике при исследовании пластического разрушенияТри других уравнения описывают распределенные по элементу конструкции пластические деформации. В сосредоточенном пластическом шарнире концентрируется потенциальная энергия деформации, а балка в нем испытывает пластическое течение. В табл. 4.2 для сравнения приведены безразмерные численные коэффициенты в выражениях для потенциальной энергии деформации, максимального пластического прогиба и максимальной относительной пластической деформации. Как видно из таблицы, вновь получены результаты, практически не зависящие от вида принятой формы колебаний. Уравнение статического прогиба балки с пластическим шарниром не
*> См., например, [41*]. — Прим. ред.
дает максимального значения относительной деформации из-за отсутствия в задаче характерной длины.
Форма колебаний с сосредоточенным пластическим шарниром приводит к значительно большим значениям максимального прогиба, чем формы колебаний, при которых пластические прогибы распределены по всей длине конструктивного элемента. Результаты решения при форме колебаний, соответствующей уравнению прогиба с сосредоточенным шарниром, дают правильные функциональные зависимости, однако численные значения прогибов оказываются большими, так как деформации не распределены по длине конструкции. Для стальных элементов конструкций типа балок уравнения с распределенным прогибом лучше соответствуют реальности и, следовательно, дают более правильные количественные результаты. В элементах конструкций, выполненных, например, из неполностью армированного бетона, механизм разрушения напоминает схему жесткопластической деформации с образованием пластического шарнира, поэтому для бетонных конструкций более приемлема форма колебаний с сосредоточенным шарниром.На основе полученных результатов можно сформулировать следующий вывод: при практических расчетах в качестве кривых прогиба можно использовать как синусоиду, так и кривую статической упругой линии. При симметричной схеме нагружения рекомендуется принимать синусоидальную форму колебаний, которая реализуется, например, в шарнирно опертых балках или в балках с двумя защемленными концами, так как при этом требуются более простые адгебраические преобразования. При несимметричной схеме нагружения, как, например, в случае балки с одним шарнирно опертым и другим защемленным концом, проще использовать форму статической упругой линии, отвечающую равномерно распределенной нагрузке. Выбор оптимальной формы колебаний при других граничных условиях здесь не рассматривается. Во всех представленных примерах форма колебаний оказывает меньшее влияние на результаты решения, чем условия закрепления. Сопряжение упругого конструктивного элемента с упругой опорой значительно больше сказывается на реакции конструкции, чем форма колебаний.
4.5.4.