Ударноволновое нагружение

Большой интерес представляют вынужденные коле­бания упругого осциллятора с одной степенью свободы при удар­новолновом нагружении или ударном возбуждении (рис. 4.3). Предположим, что экспоненциально спадающая возбуждающая сила (рис.

вой, то получится полный приложенный импульс I, равный Р*Т. Эта величина имеет важное значение для дальнейших обсужде­ний. Отметим, что момент t = T соответствует значению им­пульса, т. е. момент T как бы делит импульс на две

равные части.

Для системы, изображенной на рис. 4.3, уравнение движе­ния (второй закон Ньютона) имеет вид

При начальных условиях, в момент времени t = 0, когда сме­щение и скорость равны нулю, закон неустановившихся дина-

мических колебаний описывается выражением

Если интересоваться не промежуточными решениями, а макси­мальным значением перемещения, то, продифференцировав урав­нение (4.2) по времени Z и приравняв нулю полученную таким

Рис. 4.3. Линейный осциллятор, нагруженный взрывной волной. Заштрихованная площадь соот­ветствует значению импульса /(Zo), равному инте­гралу от p*(Z).

■образом скорость, МОЖНО получить Приведенное время (1)£макс> при котором x(t) максимально. Это приведенное время находит­ся из уравнения

Уравнение (4.4) определяеткак функцию параметра ωΤ:

Уравнение (4.4) трансцендентное, и функцию φ(ωΤ) невозможно выразить через алгебраические функции, но его можно решить методом последовательных приближений.

Решение уравнений (4.4) — (4.6), полученное мето^рм последо­вательных приближений, представлено на рис. 4.4 сплошной ли­нией. Рис. 4.4, характеризующий реакцию упругого осциллятора на ударноволновую нагрузку, является дополнением к рис. 4.2,

отражающему привычный случай синусоидальной возмущающей силы. Несмотря на то что по осям абсцисс и ординат отложены одни и те же параметры, формы изображенных кривых па ука­занных рисунках существенно различаются. Для того чтобы по­нять динамику деформирования ударно нагруженных конструк­ций, необходимо разобраться в результатах, представленных на рис. 4.4.

Отметим, что решение, представленное на рис. 4.4, можно аппроксимировать двумя асимптотам” -ⁱOhkhmh

сплошными линиями. При значениях асимп­

тоты очень точно аппроксимируют общее решение. Уравнения асимптот получаются из соответствующих уравнений энергети­ческого баланса, которые рассматриваются ниже в настоящей главе. Для удобства дальнейшего изложения целесообразно вы­делить три характерных режима нагружения конструкции. Ре­жим, при которомназовем режимом квазистатического

приложения нагрузки. Название «квазистатический» обуслов­лено тем, что в области максимальный динамический

прогиб-вдвое больше ста і ическш и.

должительность нагружения T намного превышает период соб-

Рис. 4.4. Амплитудно-частотная характеристика упругого осциллятора, на­груженного взрывной волной:

ственных колебаний нагруженной конструкции Ι/ω. Иными сло­вами, максимальная деформация конструкции достигается при незначительной диссипации приложенной нагрузки. В режиме квазистатического приложения нагрузки деформация зависит только от амплитуды нагрузки P и коэффициента жесткости кон­струкции k. Реакция конструкции не зависит от продолжитель­ности нагружения T и массы конструкции т. Однако при умень­шении параметра ωΤ использование коэффициента динамич­ности нагрузки становится недопустимым, и требуются иные подходы для расчета характеристик деформируемых конструк­ций.

Здесь I = Р*Т. Поскольку в рассматриваемой области деформа­ция прямо пропорциональна произведению Р*Т, т. е. импульсу /, то режим нагружения целесообразно называть режимом им­пульсного приложения нагрузки. Отметим, что в режиме им­пульсного приложения нагрузки деформация зависит только от произведения Р*Т, или, что то же самое, от площади под кривой изменения нагрузки во времени. В рассматриваемой области при неизменном импульсе нагрузки максимальная деформация достигается при произвольной комбинации величины и продол­жительности нагружения, а реакция конструкции зависит как от жесткости конструкции, так и от ее массы.

Наконец, существует третий режим нагружения, соответ­ствующий широкому диапазону значений ωΤ = 0,4 ... 40, кото­рый является переходным от режима импульсногааприложения нагрузки до режима квазистатического приложения нагрузки,— это так называемый режим динамического нагружения, при ко­тором деформация определяется законом изменения нагрузки во

времени. К сожалению, к этой области простые приближенные методы анализа неприменимы. Движение системы здесь опре­деляется давлением и импульсом воздушной волны, а также же­сткостью и массой конструкции. Обе указанные асимптоты, ква- зистатическая и импульсная, фактически аппроксимируют всю кривую ударноволного воздействия на конструкцию, изображен­ную на рис. 4.4. Построение приближенного промежуточного ре­шения можно произвести с помощью лекала, принимая во вни­мание тот факт, что значение х в точке пересечения асимптот ;приблизительно вдвое превышает действительное значение этой величины. В режиме динамического приложения нагрузки про­должительность нагружения и характерное время реакции кон­струкции совпадают по порядку величины, и аналитическое ре­шение уравнения движения конструкции под действием ударно­волновой нагрузки представляет здесь наибольшие трудности.

Опишем некоторые аналитические приемы, существенно упро­щающие процедуру вычислений максимальных значений дефор­маций или внутренних напряжений конструкции в режимах им­пульсного и квазистатического приложения нагрузки.

Максимальная работа W, которая может быть совершена над конструкцией постоянной внешней силой с незначительно умень­шающейся амплитудой, составит

Приравняв W и U, получим уравнение асимптоты режима ква­зистатического приложения нагрузки

т. е. квазистатическую асимптоту

Напомним, что особенностью режима квазистатического прило­жения нагрузки является большая продолжительность нагруже­ния, когда до момента достижения максимальной деформации конструкции лишь незначительная часть энергии нагрузки акку­мулируется в виде потенциальной энергии деформации. Именно поэтому приравнивание максимально возможной работы на­грузки к максимальной потенциальной энергии деформации кон­струкции приводит к правильному результату. Принцип равенства

работы и потенциальной энергии деформации занимает важное место в последующем изложении теории воздействия взрывной воздушной волны на элементы конструкций, особенно в тех слу­чаях, когда используются уравнения энергетического баланса.

Для того чтобы получить уравнение асимптоты режима им­пульсного приложения нагрузки, необходимо рассчитать на­чальную кинетическую энергию, сообщаемую конструкции. На­помним, что импульсное приложение нагрузки характеризуется малой продолжительностью нагружения, а к моменту исчезно­вения нагрузки в конструкции возникают лишь незначительные деформации.

Кинетическая энергия в конечном счете преобразуется в потен­циальную энергию, определяемую соотношением (4.9). Прирав­няв к и U, получим уравнение асимптоты режима импульсного приложения нагрузки

т. е. импульсную асимптоту

Принцип равенства кинетической и потенциальной энергий, при­меняемый для расчета асимптоты режима импульсного прило­жения нагрузки, также является ключевым принципом в после­дующем изложении теории ударноволнового воздействия на эле­менты конструкций, использующей уравнения энергетического· баланса.

4.2.