Приложения криволинейных интегралов 2-ого рода.

Рассмотрим криволинейный интеграл 2-ого рода

J = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz ( 11 )

где P, Q, R – некоторые ограниченные непрерывные функции, а L - произвольная линия в пространстве, соединяющая точки А и В.

Пусть линию определяет векторное уравнение r = r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k , ( t1

t2 ) . Тогда дифференциал радиус-вектора dr = ( xt`i + yt`j + zt`k ) dt = {dx, dy, dz} задает направление и величину смещения при движении по кривой в окрестности произвольной точки.

Величины P, Q, R можно рассматривать как компоненты вектора F = F(M) = {P,Q,R }, значения которого меняются от точки к точке пространства. Такой переменный вектор определяет векторное поле. Например, поле сил, воздействующих на тело массыm. При движении тела по кривой L в поле сил производится работа. По определению, на малом прямолинейном участке пути работа равна скалярному произведению вектора силы F(Mi) на вектор смещения ri , т.е. Ai = F(Mi) ri . Разделим кривую L на n малых, почти прямолинейных участков, и составим интегральную сумму A(n) = F(Mi) ri = [ P(Mi) xi + Q(Mi) yi + R(Mi) zi ] ( 12 )

Пределом интегральной суммы ( 12 ) при n является криволинейный интеграл 2-ого рода ( 11 ) или J = , т.е.

криволинейный интеграл 2 рода есть интеграл вдоль кривой от скалярного произведения вектора силы на вектор смещения.

Его механический смысл - работа по перемещению тела в поле переменных сил. Произведенная работа может зависеть или не зависеть от выбранного пути при перемещении из точки А в точку В . Это свойство является важнейшей характеристикой всякого векторного поля. Определим условия независимости криволинейного интеграла от контура интегрирования.

Теорема . Криволинейный интеграл 2-ого рода ( 11 ) вдоль кривой L , соединяющей точки А и В, не зависит от пути интегрирования при выполнении любого из следующих условий:

1) если его значение по произвольному замкнутому контуру равно 0

Pdx + Qdy + Rdz = 0 ( 13 )

2) если его подынтегральное выражение является полным дифференциалом функции трех переменных U(x,y,z)

Pdx + Qdy + Rdz = dU ( 14 )

3) если выполняются следующие равенства для частных производных от подынтегральных функций

= , = , = ( 15 )

Доказательства :

1) Пусть условие ( 13 ) выполняется и даны контуры (L1) , (L2) , соединяющие точки А и В. Построим замкнутый контур (L) , идущий из А в В по (L1) и из В в А по (L2) , причем, (L2) проходим в обратном направлении. Тогда, 0 = = - , т.е. =

2) Пусть условие ( 14 ) выполняется, тогда

Pdx + Qdy + Rdz = dU = Ut`(x(t),y(t),z(t)) dt =

= U(t2) – U(t1) = U(B) – U(A) ( 16 )

т.е.

значение интеграла зависит только от координат точек А и В.

3) Из определения полного дифференциала dU = dx + dy + dz и формулы (14 ) следует, что функции P, Q, R являются частными производными U

P =, Q = , R =

Из равенства смешанных производных = и т.д. следует ( 15 ).

Угадать явный вид первообразной функции U(x,y,z) удается не всегда. Для её нахождения можно использовать следующую процедуру.

Крайние точки контура интегрирования A(x0,y0,z0) и B(x,y,z) соединим последовательностью трех прямых, каждая из которых || одной из осей координат. Такой выбор контура предельно упростит интеграл J ( 11 ). Он превратится в сумму трех обычных определенных интегралов и будет равен U(x,y,z) – U(x0,y0,z0) согласно ( 16 ).

Прямая A(x0,y0,z0)C(x,y0,z0) : y , z - const , dy = dz = 0 , J JAC =