Площадь гладкой поверхности.

Понятие площади определено только для геометрических фигур на плоскости. Это количество квадратиков стандартного размера, которые умещаются на фигуре. Определение площади кривых поверхностей требует специального подхода и решается методом интегральной суммы.

Имеем гладкую поверхность G. Ее проекция на плоскость хОу занимает область D . 1) Разделим поверхность G сеткой линий на m участков G1, G2, . . . , Gm . 2) На каждом Gi выделим точку Мi , проведем через Мi касательную плоскость к G и спроектируем на нее точки участка Gi . В результате получим плоскую фигуру Gi* с площадью Si и вся гладкая поверхность покроется «многогранником». 3) Общую площадь «многогранника» определяет интегральная сумма . 4) Переход к

пределу m дает точное значение для площади криволинейной поверхности G

( 3 )

Опр. Площадью криволинейной поверхности наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения поверхности на малые участки и проектирования их на касательные плоскости.

Для вычисления интеграла по площади ( 3 ) совершим переход к двойному интегралу с помощью второго проектирования. Каждый плоский многоугольник Gi* имеет свой нормальный вектор ni и может быть спроектирован на плоскость хОу.Отношение площадей любого многоугольника и его проекции равно косинусу угла между ними, т.е.Di /Si =сos , т.к. линейный угол между плоскостями Gi* и Di равен углу между ni и Oz.

{ Пример. Сравним площади ABC и его проекции ABE. , }. Пусть Di имеет форму прямоугольника, тогда Di = xiyi , Si = xiyi / сos = xiyi и интегрирование по площади кривой поверхности заменяется на интегрирование по площади ее проекции, т.к. элементы площади заменяются на элементы dxdy

( 4 )

Пр. Найти площадь поверхности z = x y, лежащей над кругом x2 + y2 < R2 .

Решение : т.к., то