Задача о массе поверхности.

Пусть на гладкой поверхности z = z(x,y) распределена масса с поверхностной плотностью = f(x,y,z). Найти массу всей поверхности.

Задачу решаем методом интегральной суммы аналогично предыдущей задаче. Отличие заключается только в том, что в интегральной сумме ( 3 ) каждое Si дополнительно умножаем на плотность, которую считаем постоянной и равной = f(Mi)

( 5 )

Опр. Поверхностным интегралом 1-ого рода от функции f(x,y,z) по поверхности z =z(x,y) наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения поверхности на малые участки и проектирования их на касательные плоскости.

Для вычисления интеграла элемент поверхности dS выразим через его проекцию на плоскость хОу : , и в функции f(x,y,z) переменную z заменим на z(x,y) , т.е. перейдем к значениям функции на самой поверхности.

( 6 )

Пр. Вычислить массу части параболоида z = 1 – x2 – y2 , отсеченной плоскостью z = 0, если поверхностная плотность .

Т.к. p = -2x , q = -2y , D : x2 + y2