Дифференциал функции

Понятие дифференциала функции: пусть есть некоторая функция, имеющая в определенной точке х производную .

Дадим аргументу х приращение

, тогда функция получит приращение

По определению производной имеем . Так как разность между переменной, имеющей предел, и этим пределом является бесконечно малой, то есть величина бесконечно малая при :

где при

Тогда

Как видно, если функция имеет производную в точке х, то приращение функции в этой точке состоит из двух слагаемых. Второе слагаемое . как произведение двух бесконечно малых величин есть бесконечно малая более высокого порядка, чем . Если , то первое слагаемое имеет тот же порядок, что и .

Значит, при малых

второе слагаемое менее важно, чем первое. Это первое слагаемое (независимо от того, будет ли

) и называют дифференциалом.

Дифференциалом функции в точке х называется главная часть приращения функции , линейно зависящая от приращения аргумента .

Дифференциал обозначается символом . По определению,

В частности, при получим или , т.е. дифференциал аргумента равен его приращению.

Тогда , т.е. дифференциал функции в точке х равен произведению производной в точке х на дифференциал аргумента.

Отсюда , так что выражение, которое мы раньше считали цельным символом, теперь можно рассматривать как дробь, равную отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента.

Нахождение дифференциала функции называется дифференцированием, так же как и нахождение производной.

Геометрически приращение функции равно приращению KN ординаты точки кривой, а дифференциал функции dу равен соответственному приращению КР ординаты касательной, проведённой к кривой в точке (х, f (х)), когда аргумент получает приращение .

Пример 1:

Найти дифференциал функции у=(2х3– 4)5

Решение:

Находим производную данной функции: