6.1. Метод Эйлера.

Этот метод является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других численных методов.

Пусть дано дифференциальное уравнение с начальными условиями (задача Коши)

(17)

и удовлетворяются условия существования и единственности решения.

Требуется найти решение задачи Коши (17) на отрезке . Находим решение в виде таблицы . Для этого разобьем отрезок на равных частей и построим последовательность где - шаг интегрирования. Проинтегрируем исходное уравнение на отрезке :

Полученное соотношение можно переписать так

(18)

Если считать подинтегральную функцию постоянной на участке и равной значению в начальной точке этого интервала , то получим

Подставляя полученный результат в формулу (18) получаем основную расчетную формулу метода Эйлера:

(19)

Вычисление значений осуществляется с использованием формулы (19) следующим образом.

(20)

Далее определяя значение аргумента по формуле , используя найденное значение и полагая в формуле (19) вычисляем следующее приближенное значение интегральной кривой , как

(21)

Поступая аналогичным образом при определяем все остальные значения , в том числе последнее значение , которое соответствует значению аргумента .

Таким образом, соединяя на координатной плоскости точки отрезками прямых в качестве приближенного представления искомой интегральной кривой , получаем ломанную линию с вершинами в точках .

Метод Эйлера может быть применен к решению систем дифференциальных уравнений.

Пусть задана система двух уравнений первого порядка

(22)

с начальными условиями

.

Необходимо найти решение этой задачи Коши. Проводя аналогичные рассуждения, получаем расчетные формулы вида:

(23)

где - шаг интегрирования.

При расчетах полагается, что и . В результате применения расчетной схемы (23) получается приближенное представление интегральных кривых и в форме двух ломанных Эйлера, построенных по полученным таблицам . Точность метода Эйлера .