6.2. Метод Рунге-Кутта.

Данный метод является одним из наиболее распространенных численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. По сравнению с описанным выше методом Эйлера метод Рунге-Кутта имеет более высокую точность.

Пусть на отрезке требуется найти численное решение задачи Коши (17), где . Как и в предыдущем методе разобьем этот участок на равных частей и построим последовательность значений аргумента искомой функции . Предполагаем существование непрерывных производных функции до пятого порядка.

Выражение (18) можно переписать в виде:

(24)

где - приращение искомой функции на -ом шаге интегрирования.

Придадим аргументу приращение, равное шагу интегрирования , и разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки , сохранив в нем пять членов:

Перенося первое слагаемое в этой сумме в левую часть получим, что

(25)

Здесь производные определяются последовательным дифференцированием уравнения (16).

Вместо непосредственных вычислений по формуле (25) в методе Рунге-Кутта для каждого значения определяются четыре числа:

(26)

Доказывается, что если числа последовательно умножить на и сложить между собой, то выражение:

.

Формула Рунге-Кутта имеет погрешность .

Таким образом, рабочая формула Рунге-Кутта для интегрирования .

В отличие от расчетной схемы метода Эйлера, в которой каждое следующее значение вычисляется непосредственно по единой формуле (19), в методе Рунге-Кутта необходимо проведение промежуточных вычислений по формулам (26) и (27).

Метод Рунге-Кутта может быть использован и при решении систем дифференциальных уравнений. Рассмотрим задачу Коши для системы второго порядка (22). В этом случае приращения и вычисляются по формулам:

(28)

где

(29)

Приближенное интегрирование системы уравнений (22) осуществляется по формулам вида:

(30)