41) Формулы «3\8» и Симпсона
Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке [a,b]:
где f(a) , f((a + b) / 2) и f(b) — значения функции в соответствующих точках (на концах отрезка и в его середине) .
Для более точного вычисления интеграла, интервал [a,b] разбивают на N отрезков одинаковой длины и применяют формулу Симпсона на каждом из них. Значение исходного интеграла является суммой результатов интегрирования на всех отрезках.
где 
величина шага, а 
границы отрезков.
Общая погрешность E(f) при интегрировании по отрезку [a,b] с шагом xi − xi − 1 = h; в частности x0 = a, xN = b; определяется по формуле[2]:
.
При невозможности оценить погрешность с помощью максимума четвёртой производной (например, на заданном отрезке она не существует, либо стремится к бесконечности) , можно использовать более грубую оценку:
.
Еще одна используемая на практике квадратурная формула интерполяционного типа — так называемое «правило 3/8». Она получается при замене подынтегральной функции интерполяционным полиномом третьей степени, построенным по четырем точкам. Расчетные формулы для правила 3/8 приведем без вывода:
