Законы распределения функций случайных величин

Пусть Х – дискретная случайная величина.

Р(Х=х)=P_i, i=1…m

1) Если они все различны, то закон для У множеств можно записать:

У примет значение тогда и только тогда,

когда Х примет значение .

2) Если знаменатель окажется совпадающим, то нужно это совпадение значение объединить, сложив соответствующие вероятности:

Х – непрерывная случайная величина.

f(x), y=φ(x)

x= φ^-1(y) – обратная функция неоднозначна

Тогда

(2)

Если φ(у) – монотонна и однозначна и φ^-1(y) тоже монотонна и однозначна, то

- частный случай (2)

«+» - φ(x) возрастает

«-» - φ(x) убывает

Двумерный непрерывный случайный вектор:

(Х₁,Х₂) -> (Y₁,Y₂)

f(x₁,x₂)

(3)

Предположим, что обратное преобразование (3):

(4)

Предположим, что (4) – n-значимое:

Попадание в область ΔG в y10y2 равносильно попаданию в ΔG₁, ΔG₂,…, ΔG_n.

(5)

(6)

- якобиан

(7) - якобиан

Если обратное преобразование (4) однозначно, то в формуле (7) имеет место только одно слагаемое.

Если в (3) задано одно уравнение:

(8)

Тогда мы добавим одно уравнение:

(9)

N=1

- якобиан

Тогда по (7) получаем:

(10)

Вектор преобразуется в случайную величину.

Частные случаи:

По (9) получаем: (11) Если Х1 и Х2 – независимые, то (12)

По (10) получаем:

Общий случай.

Пусть вектор n-мерный:

x_ki – i-ая ветвь соответствующего обратного преобразования.

- якобиан

если вместо системы (13) мы будем использовать систему

то мы вводим систему из недостающих (n-m) уравнений:

по формуле (14) находи и интегрируем ее по и получим