Условные законы распределения

Если какие-либо компоненты вектора (Х₁,Х₂,…,Х_n) в результате опыта приняли какие- -либо значения, то закон распределения случайного вектора, состоящего из остальных компонент называют условным законом распределения этого вектора.

(Х₁,Х₂,…,Х_n)

(13)

(14)

(15)

Можно заметить что (14) получилась путем интегрирования (13) по переменным , (13) же есть аналог:

А эта формула следует непосредственно из теоремы умножения:

Р(А₁А₂А₃ … А_n)= Р(А₁)P(А₂/ А₁)… P(А_n/ А₁А₂ … А_n-1)

f(x₁x₂x₃ … x_n)= f(x₁)f(x₂/ x₁)… f(x_n/ x₁x₂ … x_n-1) (16)

(17)

(18)

Случайные величины называют независимыми, если:

(19)

Тогда для независимых величин получается:

(20)

Дискретный вектор:

(13`)

(14`)

(15`)

(16`)

(17`)

(18`)

(1)

(Х₁,Х₂,…,Х_n) – непрерывный случайный вектор

Аналогом (1) тогда для этого вектора является:

(2)

1)

(3)

2)

3)

4)

5)

(корреляционный момент случайных величин )

Корреляционный момент характеризует силу связи между случайными величинами

Свойства:

Доказательство третьего свойства:

Случайные величины, для которых К=0, называют некоррелированными.

Независимые случайные величины являются некоррелированными, но не наоборот.

Пусть Х₁ – случайная непрерывная величина, плотность вероятности которой симметрична относительно оси ординат, т.е. математическое ожидание =0:

если они некоррелированные, это не значит что они независимы.

Безразмерной характеристикой степени связи между случайными величинами называют коэффициент корреляции:

Свойства:

Дисперсия суммы попарно некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий:

Условное математическое ожидание:

Для непрерывного вектора:

(1)

(2)

(3)

Для дискретного вектора: