Пронумерованные (различимые) шары.

Пусть имеется n шариков и N лунок (или ящиков). В общем случае n≠N.

Нас интересует вероятность случайного распределения шариков по лункам, при условии, что вероятность оказаться в какой-то лунке одинакова для каждого шарика и равна .

Тогда вероятность каждого распределения шариков по лункам равна .

Пусть событие A заключается в следующем:

{в 1-й лунке оказалось шаров с какими-то номерами, во 2-й лунке – , в i-той лунке - , в N-ной лунке - шаров}.

– общему количеству шаров.

Подсчитаем теперь общее количество таких распределений.

Число комбинаций {в 1-й лунке оказалось шаров} равно .

Тогда число комбинаций {во 2-й лунке – } равно .

Для лунки с номером N число комбинаций составляет .

По теореме умножения вероятностей, общее число таких комбинаций:

(заметим, что =).

После сокращения факториалов получаем:

Тогда вероятность события A:

. (*)

Напомним, что эта формула выведена из тех соображений, что шарики различимы (пронумерованы) и вероятность для каждого из них оказаться в какой-то лунке одинакова.

Формула представляет собой произведение двух сомножителей, напоминающих рассмотренные выше формулы для размещения и перестановок с повторениями.

1.