Лекция 3. Условные вероятности (аксиоматический подход)
Мы уже сталкивались с понятием условной вероятности, когда, например, решали такую задачу:
"В ящике было N шаров, из них M белых.
Достали один шар, он оказался белый. Какова вероятность достать следующим еще один белый шар?"Достали белый шар – изменилось общее количество шаров и количество белых шаров, таким образом, искомая вероятность p= (M-1)/(N-1). Мы вычисляли эту вероятность при условии, что вытащили первым белый шар.
Теперь мы сформулируем определение того, чем уже, по сути, пользовались. Итак, определение условной вероятности (слайд). Обратите внимание на обозначение условной вероятности: случайные события отделяются вертикальной или косой чертой. Мы подразумеваем, конечно, что вероятность, находящаяся в знаменателе, отлична от 0.
Замечание. В некоторых книгах встречается такое обозначение: 
– условная вероятность события B, при условии, что событие A произошло.
Иногда ""обычную" вероятность называют "безусловной".
Далее мы покажем, что таким образом введенная условная вероятность удовлетворяет аксиомам Колмогорова, то есть является вероятностью в аксиоматическом смысле.
Мы должны проверить три аксиомы.
1. Неотрицательность условной вероятности очевидна, так как мы ее определяем с помощью безусловных вероятностей.
2. Нормированность, или условная вероятность достоверного события равна 1 в силу того, что произведение Ω∙A=A (Ω играет роль единицы по умножению при рассмотрении алгебры случайных событий)
3. Аддитивность, или способ вычисления вероятности суммы двух несовместных событий, следует из того, что события B|A и C|A являются несовместными, если несовместны B и C.
Пример. В ящике 2 белых и 7 черных шаров. Последовательно вынимают 2 шара. Первым вынимают белый шар. Какова вероятность того, что вторым будет вынут белый?
Сформулируем случайные события: 
Нас интересует условная вероятность 
(вероятность того, что вторым достали белый шар при условии, что первым достали черный).
I. Рассуждая по аналогии, 
(после того, как достали черный шар, изменилось общее количество шаров, количество белых не изменилось)
II. А теперь воспользуемся формулой определения условной вероятности:
(Этот пример еще показывает, насколько могут быть различными подходы к решению одной и той же задачи!)