Спектральное представление стационарного случайногосигнала, рассматриваемого на неограниченном интервалевремени
67
Для описания его частотных свойств введем в рассмотрение отношение дисперсии k-й гармоники к ширине полосы частот между двумя близлежащими спектральными линиями.
ж ж ж ж
R (т) = D0 + ? Dl ejkwT + ? D^e-= ? DjLejkwT + ? D^e-
k=1 k=1 k=0 k=1
Заменим во второй сумме k на -k:
ж 0
Rx( т) = ? DkejkwT+ ? DkejkwT,
k=0 k=—ж
но Dk=D-k.
Тогдаж 0 ж
?D-ejkwT + ?D^e-jkwT = ?Diejkm . (1.133)
k=0 k=—ж k=—ж
Так как частота w численно равна расстоянию между спектральными линиями, то можно сделать формальную замену :
Rx(т) = ? Dp ejkAwT (1.134)
2
k = -да
В свою очередь
T
Dk = f jRx(т)cos(kAwT)dT (1.135)
Найдем отношение
D k 1 T
1 t
Aw п - f
- j Rx(T) cos(kAwT)dT = S*(kAw) (1.136)
Это - функция k A w, обладающая свойствами: S*(-kAw) = S*(kAw),
68
*
то есть S (kAw) - четная функция своего аргумента; кроме того она
*
неотрицательна: S (kAw) >= 0.
Перейдем от Dk к введенной нами функции:
Dk = AwS*(kAw)
T
S*(kAw) = 1 jRx(т)cos(kAwT)dT (1.137)
- T
да
Rx(т) = 2 Z S*ejkAwTAw (1.138)
k = -да
Устремим Aw к нулю, а интервал времени Т к бесконечности.
*
S (kAw) при неограниченном увеличении времени наблюдения называется спектральной плотностью.
Rx(т) = 1 j S*(u) exp(juT)du
(1.139)
- да да
S*(u) = 1 j Rx(T)cOS(UT)dT
Вместо аргумента u введем w:
Rx(T) = 2 jS*(w)exp(jwT)dw
-да да
(1.140)
S*(w) = п j Rx(T)cos(wT)dT
Спектральная плотность мощности (СПМ) случайного сигнала обладает теми же свойствами: она является неотрицательной и четной функцией частоты.
Для того, чтобы АКФ можно было представить в виде Фурье - преобразования от СПМ, переобозначим ее:
S(w) =
(1141)
S (w) 2
69
В формулах произойдут следующие изменения :
да
Rx( т) = j S(w)exp(jwT )dw
-да (1.142)
да
S(w) = j Rx(т) COS(WT)dT
-да
ejwT + e- jwT
Рассмотрим свойства новой спектральной плотности: COS(WT)
2
дада
j Rx(T) cos(wT)dT = 2 j Rx(T) exp(jwT)dT
+
ж
+ 2 J Rx(т) exp(-jwx)dx
-ж
В первом интеграле сделаем замену аргумента на противоположный по знаку и т. к.
Rx( т) = Rx(-т), то+
J Rx(т)соэ^т^т = 2 J Rx(т)exp(-jwт^т
-ж -ж
жж
+ 2 J Rx(т) exp(-jwт)dт = J Rx(т) exp(-jwт)dт
-ж -ж
то есть спектральная плотность может быть записана в виде:
ж
S(w) = J Rx(т)exp(-jwт)dт (1.143)
—00
Вывод : АКФ и СПМ связаны между собой парой преобразований Фурье.
Сделаем подстановку: exp(jw т )=cos(w т )+jsin(w т), тогда
Rx(т) = JS(w) cos(wт)dw + j JS(w) sin(wт)dw,
-ж
70
но так как АКФ является четной функцией, а синус — нечетной, то второй интеграл равен нулю, и тогда
ж
Rx( т) = J S(w)cos(w^dw,
-ж
то есть:
ж
Rx( т) = 2 J S(w)cos^ )dw
(1.144)
-ж
<
ж
S(w) = ±J Rx( т)cos(wт )dт
-ж
Укажем некоторые свойства спектральной плотности мощности.
Во-первых, СПМ является четной функцией своего аргумента
S(w) =S(-w),
во-вторых, спектральная плотность - неотрицательная функция:
S(w)>=0,
и в третьих, вычислим дисперсию сигнала:
да
Dx = Rx(0) = JS(w)dw . (1.145)
— да
То есть, интеграл от спектральной плотности в бесконечных пределах равен дисперсии (полной мощности) сигнала. Это - условие нормировки.