<<
>>

Спектральное представление стационарного случайногосигнала, рассматриваемого на неограниченном интервалевремени

Пусть имеем стационарный случайный сигнал X(t), рассматриваемый на интервале времени 0<=t< ж .

67

Для описания его частотных свойств введем в рассмотрение отношение дисперсии k-й гармоники к ширине полосы частот между двумя близлежащими спектральными линиями.

ж ж ж ж

R (т) = D0 + ? Dl ejkwT + ? D^e-= ? DjLejkwT + ? D^e-

k=1 k=1 k=0 k=1

Заменим во второй сумме k на -k:

ж 0

Rx( т) = ? DkejkwT+ ? DkejkwT,

k=0 k=—ж

но Dk=D-k. Тогда

ж 0 ж

?D-ejkwT + ?D^e-jkwT = ?Diejkm . (1.133)

k=0 k=—ж k=—ж

Так как частота w численно равна расстоянию между спектральными линиями, то можно сделать формальную замену :

Rx(т) = ? Dp ejkAwT (1.134)

2

k = -да

В свою очередь

T

Dk = f jRx(т)cos(kAwT)dT (1.135)

Найдем отношение

D k 1 T

1 t

Aw п - f

- j Rx(T) cos(kAwT)dT = S*(kAw) (1.136)

Это - функция k A w, обладающая свойствами: S*(-kAw) = S*(kAw),

68

*

то есть S (kAw) - четная функция своего аргумента; кроме того она

*

неотрицательна: S (kAw) >= 0.

Перейдем от Dk к введенной нами функции:

Dk = AwS*(kAw)

T

S*(kAw) = 1 jRx(т)cos(kAwT)dT (1.137)

- T

да

Rx(т) = 2 Z S*ejkAwTAw (1.138)

k = -да

Устремим Aw к нулю, а интервал времени Т к бесконечности.

*

S (kAw) при неограниченном увеличении времени наблюдения называется спектральной плотностью.

Rx(т) = 1 j S*(u) exp(juT)du

(1.139)

- да да

S*(u) = 1 j Rx(T)cOS(UT)dT

Вместо аргумента u введем w:

Rx(T) = 2 jS*(w)exp(jwT)dw

-да да

(1.140)

S*(w) = п j Rx(T)cos(wT)dT

Спектральная плотность мощности (СПМ) случайного сигнала обладает теми же свойствами: она является неотрицательной и четной функцией частоты.

Для того, чтобы АКФ можно было представить в виде Фурье - преобразования от СПМ, переобозначим ее:

S(w) =

(1141)

S (w) 2

69

В формулах произойдут следующие изменения :

да

Rx( т) = j S(w)exp(jwT )dw

-да (1.142)

да

S(w) = j Rx(т) COS(WT)dT

-да

ejwT + e- jwT

Рассмотрим свойства новой спектральной плотности: COS(WT)

2

дада

j Rx(T) cos(wT)dT = 2 j Rx(T) exp(jwT)dT

+

ж

+ 2 J Rx(т) exp(-jwx)dx

В первом интеграле сделаем замену аргумента на противоположный по знаку и т. к. Rx( т) = Rx(-т), то

+

J Rx(т)соэ^т^т = 2 J Rx(т)exp(-jwт^т

-ж -ж

жж

+ 2 J Rx(т) exp(-jwт)dт = J Rx(т) exp(-jwт)dт

-ж -ж

то есть спектральная плотность может быть записана в виде:

ж

S(w) = J Rx(т)exp(-jwт)dт (1.143)

—00

Вывод : АКФ и СПМ связаны между собой парой преобразований Фурье.

Сделаем подстановку: exp(jw т )=cos(w т )+jsin(w т), тогда

Rx(т) = JS(w) cos(wт)dw + j JS(w) sin(wт)dw,

70

но так как АКФ является четной функцией, а синус — нечетной, то второй интеграл равен нулю, и тогда

ж

Rx( т) = J S(w)cos(w^dw,

то есть:

ж

Rx( т) = 2 J S(w)cos^ )dw

(1.144)

<

ж

S(w) = ±J Rx( т)cos(wт )dт

Укажем некоторые свойства спектральной плотности мощности.

Во-первых, СПМ является четной функцией своего аргумента

S(w) =S(-w),

во-вторых, спектральная плотность - неотрицательная функция:

S(w)>=0,

и в третьих, вычислим дисперсию сигнала:

да

Dx = Rx(0) = JS(w)dw . (1.145)

— да

То есть, интеграл от спектральной плотности в бесконечных пределах равен дисперсии (полной мощности) сигнала. Это - условие нормировки.

<< | >>
Источник: Ю.Н. Пивоваров, А.Г. Реннер, В.Н. Тарасов. МЕТОДЫ ОПЕРАТИВНОЙ ОБРАБОТКИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ. Учебное пособие часть 1. 1998

Скачать готовые ответы к экзамену, шпаргалки и другие учебные материалы в формате Word Вы можете в основной библиотеке Sci.House

Воспользуйтесь формой поиска

Спектральное представление стационарного случайногосигнала, рассматриваемого на неограниченном интервалевремени

релевантные научные источники: