Спектральное представление стационарного случайногосигнала, рассматриваемого на неограниченном интервалевремени
67
Для описания его частотных свойств введем в рассмотрение отношение дисперсии k-й гармоники к ширине полосы частот между двумя близлежащими спектральными линиями.
ж ж ж ж
R (т) = D0 + ? Dl ejkwT + ? D^e-= ? DjLejkwT + ? D^e-
k=1 k=1 k=0 k=1
Заменим во второй сумме k на -k:
ж 0
Rx( т) = ? DkejkwT+ ? DkejkwT,
k=0 k=—ж
но Dk=D-k. Тогда
ж 0 ж
?D-ejkwT + ?D^e-jkwT = ?Diejkm . (1.133)
k=0 k=—ж k=—ж
Так как частота w численно равна расстоянию между спектральными линиями, то можно сделать формальную замену :
Rx(т) = ? Dp ejkAwT (1.134)
2
k = -да
В свою очередь
T
Dk = f jRx(т)cos(kAwT)dT (1.135)
Найдем отношение
D k 1 T
1 t
Aw п - f
- j Rx(T) cos(kAwT)dT = S*(kAw) (1.136)
Это - функция k A w, обладающая свойствами: S*(-kAw) = S*(kAw),
68
*
то есть S (kAw) - четная функция своего аргумента; кроме того она
*
неотрицательна: S (kAw) >= 0.
Перейдем от Dk к введенной нами функции:
Dk = AwS*(kAw)
T
S*(kAw) = 1 jRx(т)cos(kAwT)dT (1.137)
- T
да
Rx(т) = 2 Z S*ejkAwTAw (1.138)
k = -да
Устремим Aw к нулю, а интервал времени Т к бесконечности.
*
S (kAw) при неограниченном увеличении времени наблюдения называется спектральной плотностью.
Rx(т) = 1 j S*(u) exp(juT)du
(1.139)
- да да
S*(u) = 1 j Rx(T)cOS(UT)dT
Вместо аргумента u введем w:
Rx(T) = 2 jS*(w)exp(jwT)dw
-да да
(1.140)
S*(w) = п j Rx(T)cos(wT)dT
Спектральная плотность мощности (СПМ) случайного сигнала обладает теми же свойствами: она является неотрицательной и четной функцией частоты.
Для того, чтобы АКФ можно было представить в виде Фурье - преобразования от СПМ, переобозначим ее:
S(w) =
(1141)
S (w) 2
69
В формулах произойдут следующие изменения :
да
Rx( т) = j S(w)exp(jwT )dw
-да (1.142)
да
S(w) = j Rx(т) COS(WT)dT
-да
ejwT + e- jwT
Рассмотрим свойства новой спектральной плотности: COS(WT)
2
дада
j Rx(T) cos(wT)dT = 2 j Rx(T) exp(jwT)dT
+
ж
+ 2 J Rx(т) exp(-jwx)dx
-ж
В первом интеграле сделаем замену аргумента на противоположный по знаку и т. к. Rx( т) = Rx(-т), то
+
J Rx(т)соэ^т^т = 2 J Rx(т)exp(-jwт^т
-ж -ж
жж
+ 2 J Rx(т) exp(-jwт)dт = J Rx(т) exp(-jwт)dт
-ж -ж
то есть спектральная плотность может быть записана в виде:
ж
S(w) = J Rx(т)exp(-jwт)dт (1.143)
—00
Вывод : АКФ и СПМ связаны между собой парой преобразований Фурье.
Сделаем подстановку: exp(jw т )=cos(w т )+jsin(w т), тогда
Rx(т) = JS(w) cos(wт)dw + j JS(w) sin(wт)dw,
-ж
70
но так как АКФ является четной функцией, а синус — нечетной, то второй интеграл равен нулю, и тогда
ж
Rx( т) = J S(w)cos(w^dw,
-ж
то есть:
ж
Rx( т) = 2 J S(w)cos^ )dw
(1.144)
-ж
<
ж
S(w) = ±J Rx( т)cos(wт )dт
-ж
Укажем некоторые свойства спектральной плотности мощности.
Во-первых, СПМ является четной функцией своего аргумента
S(w) =S(-w),
во-вторых, спектральная плотность - неотрицательная функция:
S(w)>=0,
и в третьих, вычислим дисперсию сигнала:
да
Dx = Rx(0) = JS(w)dw . (1.145)
— да
То есть, интеграл от спектральной плотности в бесконечных пределах равен дисперсии (полной мощности) сигнала. Это - условие нормировки.
Скачать готовые ответы к экзамену, шпаргалки и другие учебные материалы в формате Word Вы можете в основной библиотеке Sci.House
Спектральное представление стационарного случайногосигнала, рассматриваемого на неограниченном интервалевремени
- Методы и средства построения представлений унаследованной информационной системы в процессе реинжиниринга Романенко Сергей Александрович | Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Санкт-Петербург - 2004 | Диссертация | 2004 | Россия | docx/pdf | 6.98 МбСпециальность: 05.13.11. - Математическое обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей. ОГЛАВЛЕНИЕ Список иллюстраций 5 Список таблиц , 7 Список сокращений 8 Введение . 9 Глава
- Программно-алгоритмическое обеспечение непрерывного вейвлет-преобразования при обработке и интерпретации геофизических полей Пискун Павел Валерьевич | Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Москва - 2006 | Диссертация | 2006 | Россия | docx/pdf | 15.24 МбСпециальность 25.00.10. - Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых. Цель работы Исследования в области применения непрерывного вейвлет- преобразования при решении задач обработки
- Вейвлет-преобразование в теории случайных процессов и квантовой теории поля Алтайский Михаил Викторович | Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук | Диссертация | 2007 | pdf | 7.04 МбДиссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика. Москва 2006 Введение 9 1 Основные сведения о непрерывном
- Концептосферы английских и русских текстов детективов и их языковое представление Теплых Регина Римовна | Диссертация на соискание ученой степени кандидата филологических наук. Уфа - 2007 | Диссертация | 2007 | Россия | docx/pdf | 11.89 МбСпециальность 10.02.20 - сравнительно-историческое, типологическое и сопоставительное языкознание. Введение 3 Глава I. Текст детектива и его составляющие 1.1. Понятие «текста - современные трактовки
- Пристрій захисту мовного сигналу в системах військового управління з розробкою передавальної частини Кравченко Р.О. | | Дипломная работа | 2001 | Украина | doc | 0.21 МбВ даній роботі вирішене завдання захисту інформації від випадкового перехоплення або несанкціонованого доступу до службової інформації. Особливістю роботи являється те, що для
- Разработка и исследование моделей, методов и средств редактирования информационного наполнения компьютерных банков знаний Орлов Василий Александрович | Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Владивосток - 2004 | Диссертация | 2004 | Россия | docx/pdf | 9.02 Мб05.13.11 - математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей. Актуальность проблемы. Исследования в области компьютерных систем, основанных на знаниях,
- Грамматические варианты в русском языке: когнитивно-эволюционный аспект Попов Сергей Леонидович | Диссертация на соискание ученой степени доктора филологических наук. Харьков — 2015 | Диссертация | 2015 | Украина | docx/pdf | 3.15 МбСпециальность 10.02.02 — русский язык. Вариантность, наблюдаемая в русском грамматическом строе, не одно столетие интересует как лингвистов, так и рядовых носителей языка. По- прежнему актуальны
- Россия и Франция: национальные стереотипы и их метафорическая репрезентация (на материале французских и российских газет) Шаова Оксана Александровна | Диссертация на соискание ученой степени кандидата филологических наук. Екатеринбург - 2005 | Диссертация | 2005 | Россия | docx/pdf | 7.07 Мб10.02.20 - сравнительно-историческое, типологическое и сопоставительное языкознание. Актуальность исследования состоит в том, что с формированием новой научной антропоцентрической парадигмы (наряду с
- Шпаргалка - Банківська система України | Шпаргалка | 2016 | Украина | doc | 0.17 МбПитання Види банків 2.Завдання банківського регулювання 3. Охарактеризуйте порядок створення та організаційну структуру банків. До якої з банківських систем західних країн наближається банківська
- Билеты с ответами на экзамен по патофизиологии | Ответы к зачету/экзамену | 2017 | docx | 0.54 Мб44 билета с ответами на экзамен по патофизиологии 1 . Предмет и задачи патофизиологии, ее место в системе высшего медицинского образования. 2Аллергены, понятие, свойства, виды. 3. Синдром