Спектральное представление стационарного случайного сигнала, рассматриваемого на ограниченном интервалевремени

Пусть X (t) - центрированный стационарный случайный

процесс на участке 0<=t<=T, а Rx(t,t1) - АКФ этого процесса.

Так как X (t) - стационарный сигнал, то его корреляционная функция является функцией одного аргумента:

Rx(t,ti)=Rx(ti-t)=Rx( Т),

где Т =t1-t.

0 < t < T 1

I ^ -T<=t1-t<=T; -T<= T <=T. 0 < t1 < T J 1

На рисунке 24 изображен график зависимости АКФ от интервала между сечениями.

Рисунок 24 - График АКФ ограниченного во времени стационарного случайного процесса

Построим каноническую модель АКФ, для этого представим

ее в виде тригонометрического ряда Фурье :

Ь0 , , ,

Rx(T)^^ + S bkcos(kwT)+ S A ksin(kwT). (1.124)

дада

k=1 k=1

S bkcos(kwT)+ S A,

62

Определим коэффициенты ряда :

bk^-2 j Rx( T)cos(kw T)d T; Ak=,2 j Rx( T)sin(kw T)d T. T0 -T0^ '0 -T0/

w= f^; Ak=0, так как АКФ - четная функция своего аргумента,

Sin - нечетная, а интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю;

bk=Dk, тогда

D да

D 0 V

Rx( T)= + S DkCos(kw T); k=1

Dk=2 j Rx( T)cos(kw T)d T, избавляемся от T0:

T0 - f0/2 2n 2n

w= T0=^f=T, тогда

T

Dk= T 1 Rx( T)cos(kw Т )d Т. 1 T

Докажем, что эта модель является канонической, для этого вместо подставим его значение

п да

Rx(t,t1) = П0 + Z DkCGs(kw(t -11))

2 k=1

но cos(kw(t-t1)=cos(kwt- kwt1)=cos(kwt)cos(kwt1)+

+sin(kwt)sin(kwt1), тогда

п да

Rx(t,t1) = п° + Z nk(cGs(2wt)cGs(2wt1) + sin(2wt)sin(2wt1)).

2 k=1

Таким образом, сам сигнал может быть представлен в виде :

да да

X(t) = Ф + Z U k CGs(kwt) + Z Vk sin (kwt) (1.125)

k=1 k=1 Коэффициенты разложения при этом обладают следующими свойствами :

1) M^]=M[Uk]=M[Vk]=0,

63

то есть все они центрированы;

Коэффициенты разложения некоррелированы между собой : M^Uk]=M^Vk]=0 при любых к.

м™={П2,: mm

M[VkVm]={°Dkk; mm

4) M[UkVm]=0

П[Ф ] = n2L

По 2

То есть сигнал описывается разложением :

да

X(t) = Ф + Z (U k CGs(kwt) + Vk sin (kwt))

k=1

да

= Ф + Z(Ak sin(kwt + Фk)

k=1

где

Ak =VU2 + Vk2 ; Фk = arctg(Uk).

к

Любой стационарный случайный сигнал может быть представлен в виде бесконечного ряда тригонометрических функций со случайными амплитудами и фазами.

Определим дисперсию k-й гармоники:

Dk=M[{Ukcos(kwt)+Vksin(kwt)}]=cos2(kwt)M[Uk2]+ +2sin(kwt)cos(kwt)M[UkVk]+sin2(kwt)M[Vk2]. (1.126)

Дисперсия Dk характеризует мощность k-й гармонической составляющей канонической модели сигнала.

Зависимость величины Dk от частоты получила название спектра случайного сигнала или спектра мощности случайного сигнала или энергетического спектра.

т

Dk = т j Rx(x)cos(kwi)dx;

1 - т

Rx(t, t1) = Dk^ + I D k cos(kw(t - t-,) (1.127)

2 k=1

W 2w 3w 4w w

64

Д*

До

2

Рисунок 25 - Энергетический спектр случайного сигнала

Спектр случайного сигнала, ограниченного во времени, имеет линейчатую, дискретный характер, он определен на строго фиксированных частотах.

Спектр обладает следующими основными свойствами: 1)Он неотрицателен Dk=>0.

2)Представляет собой четную функцию k:

Dk=D-k.

Положим T = 0:

Dx = D0 + Z Dk, 2 k=1

то есть энергия (мощность) всего сигнала складывается из мощности (энергии) постоянной составляющей и всех гармоник.

Рассмотрим, как ведет себя дисперсия k-й гармоники при неограниченном увеличении промежутка времени Т.

T T T

Dk = + j |Rx( T)|dT = T j |Rx( T )|dT < ^ j |p x( T)|dT = ^ T K (1.12) T - T T 0 T 0 T

T

где Tk = j|px(T)|dT - интервал корреляции процесса X(t). 0

То есть, Dk < ^ тк - при увеличении Т дисперсия гармоники убывает.

65

5)Как видно из неравенства (1.128) предел дисперсии при неограниченном увеличении Т равен нулю

lim Dx = 0. (1.129)

T ^да

Рассмотрим, к чему стремится дисперсия при неограниченном росте порядкового номера номера гармоники k.

Обозначим: kWT = х, Хв = kwT = kn, xm = -kn ,

т = — ,dT = -dX = idx.

kn

Dk = Rx(kn )cos xdX;

при больших k

kn

Dk = kn jj cOSXdx;

- kn

lim Dx = 0.

k ^да

То есть, при больших k энергетический спектр затухает.

Рассмотрим вопрос определения полосы частот сигнала.

В основу определения частотного диапазона кладется энергетический подход, то есть под полосой частот подразумевает такая, в которой сосредоточена практически вся энергия (мощность) сигнала, а именно - 95%.

N

X м(t) = ? (Ak sin(kwt + ФК)

k = m ,

w н = mw; wв = N w.

Таким образом, верхняя и нижняя границы полосы частот при известных m и N легко определяются. Ширина спектра при этом:

A w=(N-m)w

N

D м = ? D К - мощность сигнала в полосе частот; k=m

66

N

Dм = ? Dk = 0.95Dx

k=m

Отсюда ищутся m и N. Но непосредственно таким подходом воспользоваться нельзя, нужны другие способы. Например, предположим, что потери энергии на частотах от 0 до m-1 и от N+1 до ж равны, тогда:

m -1

D0 + ? Dk = 0.025Dx, (1.130)

k=1

отсюда определяют m;

ж

? Dk = 0.025Dx,

N = N +1

из этого выражения можно найти N, но вычислять сумму бесконечного ряда неудобно, поэтому часто прибегают к такому подходу:

N ж

Dx = DR + ?Dk + ? DK,

k=1 k=N +1

это - мощность всего сигнала ;

N

? Dk = Dx - Df-? Dk = 0.025Dx, (1. 131)

k=N +1 k=1

Этим уравнением для определения N воспользоваться проще, для этой же цели можно применить и такое выражение:

N

0.975D x = D0 + ? DK, (1.132)

k =1