Частотный диапазон сигнала и способы его определения

Мощность сигнала - это его дисперсия, значит в частотном диапазоне содержится 95% дисперсии.

71

Рисунок 26-К вопросу об определении частотного диапазона сигнала

Случайный сигнал будет содержать энергию, соответствующую площади заштрихованной фигуры.

¦¦ в

J S(w)dw = 0.95^2^ (1.146)

w н

Однако это уравнение нельзя использовать для вычисления

ширины спектра, так как в него входит два неизвестных.

Существует несколько способов определения частотного

диапазона. Рассмотрим первый из них. Предположим, что потери

энергии слева и справа от частотного диапазона одинаковы: w.

' н

J S(w)dw = 0.025-DL

2

(1.147)

J

S(w)dw = 0.025^*-

w в

S(w) - монотонная функция, т. е. решение единственно. Ширина частотного диапазона по его верхней и нижней границам :

Aw с = w в - w н.

Та частота, на которой спектральная плотность имеет максимум, называется основной частотой сигнала w0.

Если известна основная частота w0, то делается предположение о том, что спектр сигнала симметричен

72

относительно этой частоты:

(1.148)

w в = w0 + Aw с/2 w н = w0 - Aw с/2

Тогда уравнение (1. 146) примет вид

wc+Aw%

J S(w)dw = 0.95-Dt (1.149)

wn -

4w с/

0" /2

В этом уравнении имеется единственное неизвестное - эквивалентная ширина спектра мощности, и так как СПМ монотонная функция, то уравнение имеет только одно решение.

Итак, для определения частотного диапазона необходимо:

определить основную частоту w0;

решить уравнение и найти эквивалентную ширину спектра

мощности;

найти верхнюю и нижнюю границы частотного

диапазона.

Возможен и частный случай, когда нижняя граничная частота равна нулю, и приходится определять только верхнюю частоту диапазона:

w в

J S(w)dw = 0.95DL (1.150)

0

Здесь единственное неизвестное - верхняя граничная частота, которая численно равна эквивалентной ширине частотного диапазона Aw с = w в.

Наибольшее применение на практике получил формантный подход к определению частотного диапазона.

Согласно этому подходу, вначале определяется ширина частотного диапазона.

Рисунок 27 - Формантный метод определения частотного

диапазона

Aw сSм = Dx/2 Aw с = D х/2§н wн = w0 - Aw J2 w в = w0 + Aw J2

Достоинством этого подхода является минимум вычислений. На практике часто используют его модификацию:

(1.152)

i^j / Aw с = Dx/2Sm = J S(w)dw /2Sm

или

(1.153)

Aw с1 = J S2(w)dw /2S;

Рассмотрим связь между этими двумя способами.

J S2(w)dw = J S(w)S(w)dw =< Sm J S(w)dw.

0

С учетом этого неравенства :

^ / ^ / Awс1 < Sm J S(w)dw /sm ; Awс1 < J S(w)dw /sm .

0

0

74

i^j / но Awс = J S(w)dw /2SM , ^ Awс1 < Awс .

Это справедливо для любых сигналов. Еще одним способом определения частотного диапазона является так называемый метрологический подход. При этом подходе под частотным

диапазоном понимается такой, в котором СПМ S(w) незначительно отличается от своего наибольшего значения (в соответствии с рисунком 28).

Рисунок 28 - Метрологический подход к определению

частотного диапазона

Координата пересечения линии, параллельной оси абсцисс и отстоящей от нее на SM- § , с кривой S(w) дают граничные частоты wn и WH.

SM- § =S(w); 1 - у = -SSw); у = 5-10%.

м

S(w)

1 -

(1.154)

м

м

Этот способ дает заниженные значения эквивалентной ширины спектра мощности.

В зависимости от того , в каком соотношении находятся между собой w0 и ширина спектра , различают два типа сигналов:

широкополосные, у которых ширина частотного диапазона значительно превышает значение основной частоты: Awс >> wo;

узкополосные , у которых основная частота намного больше эквивалентной ширины спектра мощности.

Укажем здесь еще одно свойство всех стационарных случайных процессов, которое носит названия соотношения неопределенности:

Произведение интервала корреляции случайного сигнала на

75

эквивалентную ширину спектра его мощности есть величина постоянная, значение которой зависит от способов задания этих характеристик:

т к Aw с = const (1.155)

Например, рассмотрим широкополосный сигнал с нулевой основной частотой w0=0, тогда SM=S(0). Мы знаем, что

эо

Aw с = J S(w)dw /2Sm = DX/2Sm

Wo = 0,

ж

S(w) = Rx(т) cos(WT)dT, 0

ж ж

S(0) = 1 j Rx(T)dT = ^ jpx(T)dT = ^ = SM, o o

Awc = = 2t; тогда Awc т к = f;

Рассмотрим теперь некоторые специальные виды сигналов .

Полосовым шумом называется сигнал, СПМ которого постоянна в заданной полосе частот, а вне ее равна нулю (в соответствии с рисунком 29 и 30).

Рисунок 30 - Спектр широко-полосного сигнала

Рисунок 29 - Спектр узко-полосного сигнала

W0 - частота, делящая частотный диапазон пополам:

76

w н + w в

wo = н 2 в

S0 - интенсивность шума.

Основной частотой широкополосного сигнала считается нулевая частота.

Рассмотрим узкополосный шум. Выразим его интенсивность через дисперсию :

AwcSo = D x/2 - это площадь прямоугольника на рисунке 23,

S = Dx = Dx o 2Awc 2(wв -wн )

Рассмотрим функцию корреляции полосового шума.

Rx( т) = J S(w)cos(wi )dw = 2J S(w)cos(wi )dw

0

-ж

w в w в

2 J S(w) cos(wT)dw = 2 J S0 cos(wT)dw

w н w н

w в

sin(wT) iwв _

т 'w

н

= 2Dx/2(wв - wн) J cos(wT)dw = Л

w н

Dx 2 sin(w_^ T)cos(^^ т);

x(wв -wн)

но w в - w н =Awc, (wE+wg )/2=w0, тогда

Rx( т) = Dx sin( Aw^ T)cos(w0T)

или

sinf Awc/

Rx(т) = Dx \w/2 " cos(Woт) (1.156)

vr 2- т

АКФ полосового шума имеет колебательный, затухающий характер. Рассмотрим вопрос: при каких условиях отсчеты шума будут некоррелированными? АКФ будет равной нулю, когда либо синус, либо косинус равны нулю:

а) sin(Awc2 т) = 0, когда

Awc/2 т = kп, k=1,2,... (при k=0 значение АКФ равно единице);

т = 2kn/Awc;w = 2nf; Awc = 2nAfc, т = к/Afc. (1.157)

Таким образом, отсчеты шума будут некоррелированными, если их брать через интервал 1/Afc ;

б) cos(woт )=0; woт =(2k+1) п /2, k=0, 1, 2,...

т = (2к + 1)п/2w0; w0 = 2nf0;

т = (2к + 1) п/2*2nf0 = (2к + 1)/4f0

Найдем шаг по аргументу :

(2k+1)/4fo - (2(k-1)+1)/4fo=(2k+1-2k+2-1)/4fo =1/2fo (1. 158)

Таким образом, получены два шага дискретизации, при которых отсчеты сигнала становятся некоррелированными. Из них надо брать тот, который имеет наименьшее значение, для узкополосных сигналов это - At =1/2f0 - наименьший шаг, при котором отсчеты некорелированы.

Рассмотрим теперь широкополосный шум.

wn=0; wE= A Wс .

Для определения АКФ сигнала воспользуемся формулой для функции корреляции узкополосного шума (1.121), положив wn=0.

(1159)

Rx( т) = wr sin^T) = Dx sin( AWcTV AWcT

sin( AWCT) = 0; Awcт = kn; т = kn/Awc = kn/2nAfc = k/2Afc.

получения

для

Шаг дискретизации по времени некоррелированных отсчетов составляет

(1.160)

t=1/2 A f..