2. Отрицательное биномиальное распределение.

С бесконечной последовательностью испытаний Бернулли {X₁, X₂, …} связано еще одно важное дискретное распределение, которое обозначается (r, p) и называется отрицательным биномиальным распределением с параметрами r и p (здесь r – натуральное число).

(6)

Заметим, что выражение f(x | r, p) совпадает с х-м членом разложения функции q^r(1 – p)^-r в ряд по степеням р; т.е. отрицательного бинома (отсюда и название):

В частном случае r = 1 распределение (1, p) называется геометрическим: это есть распределение числа частиц, предшествующих первому нулю в бернуллиевской последовательности. Формула (6) в этом случае принимает вид

(7)

Если случайная величина имеет распределение (r, p), то

и (8)

Полезно знать также свойство воспроизводимости распределения (r, p) по параметру r: если случайные величины X₁, …, X_k независимы и L(X_j) = (r_j, p), j = 1, …, k, то L(X₁ + … + X_k) = Bi(r₁ + … + r_k, p). Отсюда следует, что случайная величина с распределением (r, p) может быть реализована (построена) как сумма r независимых случайных величин с одинаковым геометрическим распределением (1, p), - этот факт используется для моделирования случайных величин с отрицательным биномиальным распределением (см.

Если параметр р неизвестен, то имеем отрицательную биномиальную статистическую модель (r, ), = { : 0 < < 1 } (при r = 1 – геометрическую статистическую модель (1, ). Эти модели часто используются, например, при разработке математических методов контроля качества промышленной продукции.

Замечание. В формуле (6) биномиальный коэффициент определен при любом действительном r, а при r > 0 этот коэффициент положителен, поэтому эта формула определяет распределение вероятностей при всех r > 0 и 0 < p < 1, а не только при натуральных r. При натуральных r распределение (r, p) называют также распределением Паскаля.