Построение доверительных интервалов для дисперсии

1. Построение доверительного интервала для дисперсии при известном математическом ожидании [4, 5]

известном «7| имеет распределение X2 С п числом степеней свободы х2(и).

Примем без доказательства, что а2 как случайная величина при іестном т\ имеет | п). Тогда доверите быть получен в виде

-2 -2 И-О              2              П О

—              lt;              а              lt;              —              ,              (25)

Ха/2-Ю0%(и)              %(І-а/2)Ю0%(и)

где Х2а/2 Ю0%(и) И Х2(1-о/2) 100 %(«) процентили ^-распределения с п числом степеней свободы могут быть найдены по таблице процентных точек х2-распределения (прил. 3).

Пример 11. Для задачи из примера 10 построим при р = 0,9 интервальную оценку для дисперсии длительности оборота оборотных средств торговых фирм города при условии, что средняя длительность оборота известна и равна т\ =47,12. Точечная

оценка а2 = 111,42. Значения xV/» (50) = 67,51 и х295% (50) = 34,76 находим из таблицы процентных точек х2-распределения (прил. 3). Следовательно, из выражения (25) получим интервальную

оценку а2 в виде

50-111,42              2              50-111,42

              lt;              ст              lt;              .

67,51              34,76

82,53 lt; ст2 lt; 160,25.

2. Построение доверительного интервала для дисперсии при неизвестном математическом ожидании

Примем без доказательства, что а2 (как случайная величина) при неизвестном т\ имеет ^-распределение с (n - I) числом степеней свободы [4, 5]. Тогда доверительный интервал для а2 при заданном уровне доверительной вероятности р может быть получен из неравенства

(И-IM2 ,_2.              (п-\)-§2

—              lt;              о              lt;              —                —              .              (26)

Ха / 2100 % (" ~ 0              %(1-а              /              2)100 % (" “ 1)

Пример 12.

-—л

емся значением оценки S =113,63 (см. пример 10). Величины Х25%(49) = 66.34 и %295%(49) = 33,93 найдем из таблицы процентных точек ^-распределения (прил. 3). Используя выражение (26), получим доверительный интервал для а2 при неизвестном т\ в виде

49113,63              2              49113,63

              lt; СУ с

66,34              33,93

83,93 lt; а2 lt; 164,10.

Задания для самоконтроля

Вопрос 1. По выборке объема п из генеральной совокупности получена оценка математического ожидания щ. Условие

b{fh\) = \М{щ}~тх\ = 0 характеризует . Сделайте правильный выбор.

1. Эффективность Б. Несмещенность
2. Состоятельность

Г. Средний квадрат отклонения оценки

Вопрос 2. Известны оценки тх = 3,5 и 52= 1,44 выборки из нормальной генеральной совокупности, описывающей распределение возраста детей, посетивших детскую поликлинику в течение одного дня. Вероятность посещения поликлиники детьми в возрасте от 2,5 до 4,5 лет равна .

Вопрос 3. Вероятности р = 0,9 соответствует выборочная квантиль х0 9 = распределения выборки из нормальной генеральной совокупности с характеристиками щ =-30,5, д = 50,1.

Вопрос 4. Процентной точке х2% = 32,85 хи-квадрат распределения с числом степеней свободы я = 19 соответствует вероятность р= •

Вопрос 5. Даны две оценки 0j и 02 параметра 0 эмпирического распределения и характеристики этих оценок

М0,} = -3,4, 6{02} = 2,0;

?{§,} = 2,8, D{Q2} = 4,1.

Здесь 6{0} и ?){§} - символы соответственно смещения и дисперсии оценок характеристик, стоящих в скобках. Лучшей из оценок является оценка . Критерий, в смысле которого оценка является лучшей, .

1. Состоятельность

Б. Несмещенность

2. Эффективность

Г.

Вопрос 6. Разделите предложенные оценки характеристик случайной величины на две группы              ;              .              Укажите              соответствующие основания для разделения на группы ,              .

Оценки характеристик случайной величины

1. Дз = -61,7
2. 0,15 lt; р? lt; 0,21
3. я/|-3,71 lt; щ lt; я/j+3,71
4. ст2 = 18,22
5. т2 = 61,13

Основания

1. Точечное оценивание числовых характеристик

Б. Интервальное оценивание числовых характеристик

2. Оценивание параметров модели

Г. Оценивание числовых характеристик

Вопрос 7. Если надежность интервальной оценки среднеквадратического отклонения выборки из нормальной генеральной со-

вокупности необходимо повысить, то ширину доверительного интервала следует (уменьшить, увеличить)              .

Сделайте правильный выбор из альтернативных решений, приведенных в скобках.

Вопрос 8. Построение доверительного интервала для дисперсии выборки при неизвестном математическом ожидании осуществляется в предположении, что при П 00 оценка дисперсии имеет распределение . Сделайте правильный выбор.

1. Нормальное
2. Хи-квадрат с п числом степеней свободы
3. /-Стьюдента с п числом степеней свободы
4. Хи-квадрат с («—1) числом степеней свободы
5. ё-Стьюдента с (и-1) числом степеней свободы

Вопрос 9. При одинаковом уровне доверительной вероятности надежность оценки дисперсии, полученной по выборке из генеральной совокупности, при известном т\ . (сделайте правильный выбор).

1. Выше
2. Ниже
3. Остается без изменения по сравнению с надежностью той же оценки при неизвестном Ш\

Вопрос 10. Задана выборка из генеральной совокупности объема п = 24 с известным математическим ожиданием т\ = 4,5 и д =2,3. Интервальная оценка дисперсии выборки при доверительной вероятности р = 0,99 задается границами и .