Построение доверительных интервалов для математического ожидания

1. Построение доверительного интервала для математического ожидания при известной дисперсии

Исходные положения:

• дана выборка из генеральной совокупности х„ / = 1 ,п;
• элементы выборки Xj независимы и случайны;
• щ - точечная оценка математического ожидания, полученная по выборке объема п;
• о известна, т.е.
  известно истинное значение о.

Примем без доказательства, что асимптотическое распределение щ (как случайной величины) при известном а стремится, как правило, к нормальному распределению [1, 4, 5]

lim W( щ ) = fVfif щ ),

/?—gt;00

где индекс N означает нормальное распределение.

Используя правила построения доверительных интервалов, потребуем, чтобы выполнялось условие

Р{\ щ-т\\lt;Ъ}=р.              (22)

Раскроем выражение в скобках, одновременно проводя стандартизацию случайных величин щ - 8 и щ + 5, с помощью преобразования вида (Х-гП])/с, где т\ и ст - соответственно

математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины X. При этом получим

nf -              =              ~              . 21 Л , (щ +6)-Л/(/Й,)

Р{тх-Ъlt;т\ lt; Wj + б} = Ф {4—               —              } -

о

о

1 '              1

гдеФ(х) = -»= f е 2dt = —1-Ф0(х) -функцияЛапласа,

v2n „о,              2

/2

1 X

а Ф (х) = -т=|е 2 dt - интеграл вероятностей. v2n о

Из свойств математического ожидания и дисперсии для одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин [4] получим

М{щ} = щ, а{щ} = а/фп.

Следовательно,

d* -              х              -              j-xt              f

P{ mx              - 6 lt; nt\ lt; mx              + §} = Ф lt;              [ j f'

Известно, что функция нормального распределения нечетная, т.е.

Тогда, используя (22), получим

Р{ щ - 6 lt; т\ lt; щ + 6} = 2 Ф j-^Ц =р ,

•Ш-рв.

Чтобы определить ширину доверительного интервала 8, необходимо найти функцию, обратную функции распределения

byfn

Up/2              ,

а

где ирп - квантиль нормального распределения уровня pH. Она может быть найдена по таблицам функции нормального распределения (см. прил. 1),

Следовательно,

Гп'

5 = ир/2

и в качестве доверительного интервала для т\ можно использовать интервал

(23)

о              а

Щ - ирп• —г= lt;Ш\lt; тх + ир,г-j= Vh              vw

Проанализируйте последнее выражение и определите, как изменяется ширина доверительного интервала с изменением объема выборки и доверительной вероятности.

Ж

Пример 9. Результаты исследования длительности оборота оборотных средств торговых фирм города (в днях) представлены в группированном виде

Построить доверительный интервал при р = 0,95 для средней длительности оборота оборотных средств торговых фирм города при условии, что среднеквадратичное отклонение а известно и равно 10 дням. В данном примере щ =47,12. Квантиль нормального распределения для р = 0,95 найдем из таблицы прил. 1

Используя (23), получим доверительный интервал для т\ при известном а

44,35 lt;ю, lt;49,89.

2. Построение доверительного интервала для математического ожидания при неизвестной дисперсии

Допустим, что выборка из генеральной совокупности имеет нормальное распределение.

При этом доверительный интервал для mi при неизвестном о для заданного уровня доверительной вероятности р может быть найден из выражения

где а = 1 -р, a (і_а/2 - квантиль (-распределения Стьюдента с (и - 1) числом степеней свободы уровня (1-а/2), которая может быть найдена по статистическим таблицам квантилей или процентных точек (-распределения Стьюдента (см. прил. 2).

Пример 10. Для задачи из примера 9 при р = 0,95 получить интервальную оценку для тх при условии, что S = 10,66, щ =47,12. Из таблиц процентных точек (-распределения Стьюдента (см. прил. 2)найдем

44,07 lt; тх lt;50,17.

10,66-2,01 _1              :—.              ,,

э/49

lt;т\lt; 47,12 +

(ot/2 -100%(и - 1) - (2 5%(50 - 1) - (2,5%(49) - 2,01. Используя (24), получим

На Ваш взгляд, зависит ли ширина доверительного интервала для Ш\ от того, есть ли априорная информация о о или нет (при прочих равных условиях)? Попытайтесь объяснить Ваш Ьтвет.