Асимптотические свойства оценок

Любая оценка 0 характеристики 0 (v) как функция от результатов наблюдения 0(v) является случайной величиной, а значит ее свойства могут быть описаны плотностью вероятностей Щ 0; п) и функцией распределения F( 0; п).

Так как оценка 0 получена по выборке конечного объема и, то ее свойства зависят от п, что и отражено в записи.

Практическое определение Щв, п) и F(0, п) при конечных объемах п в большинстве случаев затруднительно, поэтому гораздо проще вычислить асимптотическое (при п -» оо) распределение. Для оценки 0 как случайной величины при фиксированном v также могут быть найдены математическое ожидание М{ 0(v)} и дисперсия D{ 0(v)j. Такое описание оценок важно для получения точностных показателей и характеристик достоверности оценки, отражающих ее качество [1,6]. Рассмотрим свойства оценок.

Несмещенность. Оценка 0(v) называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемой характеристике

0(v)

М{ 0 (v)} = 0(v).

Разность b{ 0(v)} = М{ 0(v)} - 0(v) называется смещением. Для несмещенной оценки Ь{ 0 (v)} = 0. Если b{ 0(v)} * 0 при конечном объеме выборки и, но lim b{ 0(v)} = 0, то 0(v) называется аснм-

Я—gt;00

птотическн несмещенной.

Состоятельность [1]. Оценка 0(v) называется состоятельной, если при и-»оо она сходится по вероятности к 0(v), т. е. если выполняется условие

lim /*{| 0 (v) - 0(v)| gt; є} = 0 для сколь угодно малых є gt; 0.

Л-+00

Эффективность. Оценка 9 i(v) считается эффективнее оценки 02(v) той же характеристики, если для несмещенных оценок 0 i(v) и 0 2(v) выполняется условие

D{ 0 |(v)} lt; D{ 9 2(v)} ИЛИ ст{ 0 I(v)} lt; СТ{ §2(v)}.

Если оценки 0 i(v) и 02(v) смещенные, то сравнение оценок по эффективности осуществляется с помощью неравенства

A{0i(v)} lt; A{02(v)},

где А{ 0(v)} = x]b2{Q(v)} + cr2{0(v)} - средний квадрат отклонения оценки.

Мерой эффективности оценки может служить величина:

Г)(0эф)

ef( 0) =              для              несмещенных              оценок,

Z)(0)

А(0Э(ь)

ef( 0) =              =~              для смещенных оценок,

Д(0)

где D( 0 -,ф) и А0эф - соответственно дисперсия и средний квадрат отклонения более эффективной оценки 0 эф по сравнению с анализируемой оценкой 0.