Полигармонические процессы
x(t)=x(t+nT), n=1,2,3,... (1.37)
Как и в случае гармонического процесса ,интервал времени, в течение которого происходит одно полное колебание, называется периодом Т.
Число циклов в единицу времени называют основной частотой f. Очевидно, что гармонический процесс является частным случаем полигармонического при совпадении основной частоты последнего с частотой гармонического сигнала. Как правило, полигармонические процессы могут быть представлены рядом Фурье.a ж
x(t) = —0 + ? (an cos2 nnft + bn sin2nnft),
2 n=1
f 1
где f =
2 T
an = -f x(t) cos2nnft + dt, n = 0,1,2,... (1.38)
T 0
2T
bn = -J x(t) sin 2nnft + dt, n = 0,1,2,... T
0
Возможен и другой способ записи ряда Фурье для полигармонического процесса:
x(t) = Xo + ? Xn cos(2nnf-0 n) , (1.39)
n=1
где Xo = af;
2
Xn = Va;; + b;;, n=1,2,3,... b,
0 n = arctg—, n=1,2,3,..
an
Как видно из формулы (1.39), полигармонические процессы состоят из постоянной компоненты Х0 и бесконечного числа синусоидальных компонент, называемых гармониками, с амплитудами Хп и начальными фазами 0 .Частоты всех гармоник кратны основной частоте f . Амплитуда Х1 5 2 [3 f 2f 3f Рисунок 9 - Спектр полигармонического процесса
На практике при анализе периодических процессов начальные фазы часто не принимаются во внимание. В этом случае формуле (1.39) соответствует дискретный спектр, изображенный на рисунке 9. Иногда полигармонические процессы состоят всего из нескольких компонент. В других случаях компонента с основной частотой может отсутствовать.
Центрированным называют сигнал, лишенный постоянной составляющей
X(t) = ^ (ak sin kwt + bkcoskwt) = ^ Ak sin(kwt + фk) (140)
k=1 k=1
Полная энергия сигнала описывается соотношением
T 02 A = j X (t)dt
0
T да -pro
A = J? (a2 + b2)sin2(kwt + ф k)dt = T ? A2k (1.41)
0 k=1 2 k=1
то есть энергия сигнала пропорциональна сумме квадратов бесконечного ряда гармоник.
Часто в качестве модели сигнала используется усеченный ряд Фурье
0N
Xm(t) = Z (aksinkwt + bkcoskwt), (142)
k=1
причем N определяется в предположении, что энергия модели составляет 95% энергии самого сигнала, что эквивалентно отысканию верхней граничной частоты и, следовательно, нахождению частотного диапазона сигнала.
Физические явления, которым соответствуют
полигармонические процессы, встречаются гораздо чаще явлений, описываемых простой гармонической функцией.
В действительности когда тот или иной процесс относят к типу гармонических, то зачастую при этом имеют в виду только приближенное представление процесса, который на самом деле является полигармоническим. Например, при тщательном исследовании колебаний напряжения на выходе генератора переменного тока можно обнаружить гармоники высших порядков.