Полигармонические процессы

x(t)=x(t+nT), n=1,2,3,... (1.37)

Как и в случае гармонического процесса ,интервал времени, в течение которого происходит одно полное колебание, называется периодом Т.

a ж

x(t) = —0 + ? (an cos2 nnft + bn sin2nnft),

2 n=1

f 1

где f =

2 T

an = -f x(t) cos2nnft + dt, n = 0,1,2,... (1.38)

T 0

2T

bn = -J x(t) sin 2nnft + dt, n = 0,1,2,... T

0

Возможен и другой способ записи ряда Фурье для полигармонического процесса:

x(t) = Xo + ? Xn cos(2nnf-0 n) , (1.39)

n=1

где Xo = af;

2

Xn = Va;; + b;;, n=1,2,3,... b,

0 n = arctg—, n=1,2,3,..

an

Как видно из формулы (1.39), полигармонические процессы состоят из постоянной компоненты Х0 и бесконечного числа синусоидальных компонент, называемых гармониками, с амплитудами Хп и начальными фазами 0 .Частоты всех гармоник кратны основной частоте f . Амплитуда Х1 5 2 [3 f 2f 3f Рисунок 9 - Спектр полигармонического процесса

На практике при анализе периодических процессов начальные фазы часто не принимаются во внимание. В этом случае формуле (1.39) соответствует дискретный спектр, изображенный на рисунке 9. Иногда полигармонические процессы состоят всего из нескольких компонент. В других случаях компонента с основной частотой может отсутствовать.

Центрированным называют сигнал, лишенный постоянной составляющей

X(t) = ^ (ak sin kwt + bkcoskwt) = ^ Ak sin(kwt + фk) (140)

k=1 k=1

Полная энергия сигнала описывается соотношением

T 02 A = j X (t)dt

0

T да -pro

A = J? (a2 + b2)sin2(kwt + ф k)dt = T ? A2k (1.41)

0 k=1 2 k=1

то есть энергия сигнала пропорциональна сумме квадратов бесконечного ряда гармоник.

Часто в качестве модели сигнала используется усеченный ряд Фурье

0N

Xm(t) = Z (aksinkwt + bkcoskwt), (142)

k=1

причем N определяется в предположении, что энергия модели составляет 95% энергии самого сигнала, что эквивалентно отысканию верхней граничной частоты и, следовательно, нахождению частотного диапазона сигнала.

Физические явления, которым соответствуют

полигармонические процессы, встречаются гораздо чаще явлений, описываемых простой гармонической функцией.