Анализ линейных динамических систем, работающих при входных случайных воздействиях

h( т), на вход которой поступает случайный процесс X(t).

Надо уметь находить выходной сигнал и определять все его свойства, если известны характеристики входного сигнала, т. е. Находить

M[Y(t)], D[Y(t)], Ry(t,t+ т), Ryx(t.t+ т).

Они будут зависеть от свойств входного сигнала и характеристик ЛДС.

Y(t)= Jh(x)X(t - x)dx (1.177)

0

t

1) M[Y(t)] = M[ Jh(x)mx(t - т)с1т] = Jh(x)M[X(t - т)]с1т

0

t

M

[Y(t)]= J h(i)mx(t-x)dx = my(t) (1.178)

Y(t) = Y(t) - my(t) = Jh(т){X(t - т)-mx(t- т)}СТ,

о

Y(t) = Jh(т)X(t- т)СТ (1.179)

о

о t+u о

Y(t + u) = J h(т1)X(t + u - т^т-, ,

0

о о t t +u о о

Y(t) Y(t + u) = J J h(т)h(^)X(t - т)X(t + u - т)СТСТ1 ; о о

Находим математические ожидания левой и правой частей: t t+u

Ry(t, t + u) = J J h(т)h(т1)Rx(t - т1, t + u - т)СТСТ1 . (1.180) 0 0

Найдем дисперсию выходного сигнала, для этого положим

u=0:

11

D[Y(t)] = JJ h( т )h( ^R^t- т1, t - т ^т-, (1.181) 00

87

то есть, чтобы отыскать дисперсию выходного сигнала, необходимо знать АКФ входного.

4)Взаимная корреляционная функция:

Ryx(t,t + u) = M[Y (t) XX (t + u)] =

t (1.182)

= J h(^Rx(t - т, t+ u- т)СТ 0

Выходной сигнал стационарной ЛДС при входном нестационарном сигнале будет нестационарным.

Иногда используют следующий подход. Входной сигнал представляют в виде канонической модели

ж

X(t) = mx(t) + ? Uk Ф k(1),

k=1

тогда выходной сигнал:

1 ж 1

Y(t) = J h(т)т(1 + T)dT + S U k J h(т)фк(1 - x)dx;

0 k=1 0 1

Vk(1) = Jh( T№k(1 -T)dT; 0

ж

Y(1) = my(1) + S Uk У k(1) (1183)

k =1

Если на входе линейной динамической системы имеем каноническую модель входного сигнала, то на выходе получаем каноническую модель выходного сигнала с теми же коэффициентами разложения. Отличаются только координатные функции.

Пусть входной сигнал является стационарным. Рассмотрим характеристики выходного сигнала системы.

1 1 my(1) = Jh(u)mx(u)du = mx Jh(u)du (1.184)

0 0

Вывод: выходной сигнал стационарной ЛДС при

88

стационарном входном сигнале не стационарен по математическому ожиданию.

1 1

Dy(1) = JJ h( T)h( T1)RX( т, i1)didx1 (1.185)

00 1 1+u

Ry(1,1 + u) = J J h(T)h(T1)Rx(u - т1 + т)dTdT1. (1.186) 0 0

По автокорреляционной функции выходной сигнал не стационарен при стационарном входном. Взаимно-корреляционная функция:

t

Ryx(t, t + u) = j h(T)RX(U + т)dx . (1.187)

yx'

0

То есть, входной и выходной сигналы нестационарно связаны.

Рассмотрим теперь установившийся (статический) режим работы ЛДС, устремив верхний предел интегрирования к бесконечности.

ж

1) my = mx J h(u)du (1.188)

о

ж ж

Dy = J J h(T)h(T!)Rx(т, - т^т, (1.189)

0 0

ж ж

Ry(u) = j j h(т)h(T,)Rx(u - т, + т)dTdT, (1.190)

0 0

ж

Ryx(u) = j h(т)Rx(u+ т)dт (1.191)

0

В установившемся режиме работы выходной сигнал ЛДС при стационарном входном является стационарным и стационарно связанным со входным.

Спектральная плотность мощности выходного сигнала определяется выражением

1 ж

Sy(w) = — j Ry(u)exp(—jwu)du,

2п

—ж

Подставим сюда выражение для АКФ:

ж ж 1 ж

Sy(w) = j j h(т)И(т,){— j Rx(u - т, + т)exp(-jwu)du}dтdт1

0 0 2п —ж

Рассмотрим интеграл в скобках:

u — т1 + т = u1 U = U1 + т1 — т

du = du1

u1 = ж; u2 = —ж

I В

ж

1 Г

— I Rx(u)exp(—jw(u + т1 — т))du

In J

2n

—ж

ж

1

= exp(jw^exp(—jwт1)— i Rx(u)exp(—jwu)du =

2n J

—ж

= Sx(w)exp(jwт)exp(—jw^)

подставим в исходный интеграл:

ж ж

Sy(w) = Sx(w) J J И(т)h(т1)exp(-jwт1)exp(jwт^d^ = о о

ж ж

= Sx(w){J h(т1)exp(-jwт1)dт1}{J И(т)exp(jwт)dт} = оо

= Sx(w)W(jw)W(—jw) = Sx(w)| W(jw)|2 .

(1.192)

То есть, спектральная плотность мощности выходного сигнала ЛДС при подаче на нее стационарного случайного сигнала связана с СПМ входного сигнала через квадрат модуля частотной характеристики.

Если искать дисперсию, АКФ и ВКФ по соотношениям (1.189), (1.190) и (1.191), то придется иметь дело с двойными интегралами, в то время как эти характеристики можно найти проще, пользуясь найденной зависимостью (1.192):

жж

Dy = J Sy(w)dw = J Sx(w)|W(jw)|2dw, (1.193)

—ж —ж

то есть дисперсия, также как и СПМ, зависит не от всей частотной

характеристики, а только от АЧХ.

ж

Ry( т) = J Sy(w)exp(jw^dw =

—ж (1.194)

ж

= JSx(w)|W(jw)|2exp(jwc)dw.

—ж

Рассмотрим какое практическое применение имеет найденная

зависимость. Спектр выходного сигнала зависит от СПМ входного и амплитудно-частотной характеристики системы.

Пусть на вход ЛДС подается белый шум, тогда

Sy(w)=So=const,

Sy(w) =So!W(jw)!2 , (1.194)

то есть СПМ выходного сигнала зависит только от квадрата модуля частотной характеристики системы.

ж

Ryx(u) = 1 h(T )Rx(u+ т )dT (1.195)

0

Пусть мы определили АКФ входного сигнала и функцию взаимной корреляции между входным и выходным сигналами. Соотношение (1. 195) можно использовать для определения ИПХ исследуемой системы. Найдем ВКФ между входным X(t) и выходным Y(t) сигналами системы, заменив в соотношении (1.195) у аргумента u знак на противоположный:

ж

Ryx( - u) = 1 h( т )Rx(-u + т )dT (1.196)

0

ж

Rxy(u) = 1 h(T)Rx(u- T)dT (1.197)

0

Пусть на вход системы подается стационарный белый шум. Его корреляционная функция:

Rx( т) = N 8( т), Rx(u-т) = N S(u - т),

ж

Rxy(u) = N 1 h(т)S(u - т)dт

Согласно фильтрующему свойству дельта - функции:

Rxy(u) = N * h(u),

то есть вид ВКФ совпадает с видом импульсной переходной характеристики ЛДС.

(1.198)

N

h(u) = Rxy(u)

Соотношение (1.198) можно использовать как алгоритм определения ИПХ.

Далее подается тестовый сигнал - белый шум и вычисляется взаимная спектральная плотность входного и выходного сигналов.

1 ж

Sxy(w) = — J Rxy(u)exp(—jwu)du =

—ж ж

= Jh(т){2П JRxy(u — x)exp(—jwu)du}dx

2n

о —ж

Внутренний интеграл:

ж

u — т = u1 u = u1 + т du = du1

ж

2-J Rx(u1)e—jw(u' )du1 =

в

— ж

-ж

1

1 ж

н

= e-iwt{^ JRx(u1)e—iwu1du1} = e—wtSx(w),

подставляем в исходный интеграл:

Sxy(w) = Sx(w) J h( т) exp(—jwт)dт = Sx(w)* W(jw) (1.199) о

То есть взаимная спектральная плотность между входным и выходным сигналами связана с СПМ входного сигнала через частотную характеристику системы.

Вещественная частотная характеристика оказывает влияние на

вещественную часть ВСП и не оказывает влияния на мнимую часть ВСП, и наоборот.

Вывод: частотную характеристику системы можно определять, зная взаимную спектральную плотность входного и выходного сигналов, а также СПМ входного сигнала.

Sxy(w)

W(jw) = (1.200)

Sx(w)

Любой сигнал можно представить как аддитивную смесь полезного сигнала и помехи:

X(t) = S( т) + X(t) (1.201)

Выходной сигнал системы:

Y(t) = my(t) + Y(t) (1.201)

ЛДС осуществляет преобразование, причем

m,

(t) = 1 h( x)S( x)dx, Dy = D[Y ],

Dy=min - условие минимума помехи.

Зададимся вопросом, что надо сделать для того, чтобы значение дисперсии выходного сигнала понизилось (а значит и уменьшилось значение помехи)?

ж ж ж

Dy = j Sy(w)dw = j Sx(w)|W(jw)|2dw = 2j Sx(w)|W(jw)|2dw

— ж —ж 0

(1.202)

Пусть максимальное значение СПМ входного сигнала SxK , тогда S(w) <= .

D y = 2J Sx(w)|W(jw)|2dw < 2Sxh J |W(jw)|2dw (1.203) 00

Это — оценка дисперсии сверху, то есть оценка той величины, которой она не превышает.

о

Пусть эквивалентная ширина спектра мощности сигнала X(t)

будет

Л D v

Awc =

2S

н

Пусть ширина полосы пропускания ЛДС определяется выражением

ж

2

J |W(jw)|2dw

Aw ф = -0-

|W(jw)|2

D ^

, J lW(iw)'2

2Aw

Sxh = 2tjl-, J |W(jw)|2dw = Aw ф| W(jw)2H

c0

Подставим это в выражение для дисперсии (1.203):

2D v , ,2 _ , ,2 Awф

Aw ф| W(jw)|2 = D x|W(jw)|'

2Awc 1 1 1 1 Awc

Dy < Dx|W(jw)|Aw* (1.204)

Выражение (1.204) определяет оценку сверху дисперсии выходного сигнала. Выводы:

1)Мощность выходной помехи тем больше, чем больше

мощность входной помехи.

2)Ширину полосы пропускания ЛДС нужно делать как можно меньше ширины спектра мощности сигнала, стремиться к тому, чтобы отношение A Wф / A wс было как можно меньше. Перепишем соотношение по-другому:

т u Aw * = const; т k Aw с = const

Aw ф т k . Aw ф т u

— = — = const; - = С —

Awc т u Awc т k

C — константа, которая зависит от способа задания величин A A wc, т u, т k.

Dy = С* Dx|W(jw)|2 . (1.205)

т k

Соотношения (1.204) и (1.205) используются на равных основаниях.

Вывод: для наилучшего подавления помехи нужно увеличивать длительность ИПХ системы по сравнению с интервалом корреляции исследуемого процесса. Но увеличивая длительность ИПХ, мы ухудшаем быстродействие.